“种子勾股数的唯一性”的被退，是睁着眼睛说瞎话。

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“种子勾股数的唯一性”是我于2012年5月24日，递送给“火花”的第31篇文章，也是我系统论述勾股理论，即各类欧拉群，它们的二次剩余问题的第三篇文章。这篇文章是在2012年10月31日退稿的，其退稿意见是：“经专家审阅，认为该文的证明是不完全的，也就是说并没有证得当p是形如4k+1的素数时，二元二次不定方程p2=x2+y2有且仅有一组解。您的来稿不符合本栏目的要求，因此予以退稿。”
“火花”对于我在9•11——胃癌手术前所递送给的35篇文章，作了最后一次的退稿处理，这一天他们一共退稿了四篇文章，和回复了最后的一篇。当然这最后一次所处理的文章，也是他们最难处理的文章，因为他们要想处理这几篇文章，就必须睁着眼睛说瞎话。他们说我对于“种子勾股数的唯一性”的证明是不完全的，然而，我的完全的证明是在“表素数为两数平方和问题”之中，在这篇文章却被阴差阳错的给退了，这样的处理岂不恶毒。
我的这篇“种子勾股数的唯一性”，着重论证了两种可以得到种子勾股数的不同方法，其结果必定是完全相同的。勾股公式是《九章算术》所给出的最古老的方法，“表素数为两数平方和问题”所提供的方法，完全是根据素数的原根原理，由于篇幅的关系，可以作为第三个方法的恒等关系方法，被我完全略去了。所谓种子勾股数，是指其中的三个底数都是两两互素的，高斯的二平方和表法个数公式之所以会出错，其根本的原因就是高斯对于“种子勾股数的唯一性”的浑然不知。倪则均，2015年1月23日。

种子勾股数的唯一性
倪则均
一，奇素数幂环的特性规律
种子勾股数是由一个p=4k+1形素数，所构成的一组勾股整数（x，y，p）。我们不仅要证明二元二次不定方程p2=x2+y2有解，而且还要证明它只能有唯一的一组解。显然，这是一个关于奇素数幂的问题，因此我们应该将这个问题，放到Hp^n奇素数幂环里去予以研究。
奇素数幂环Hp^n的特性规律，可以按照得到基本合数环Hm的特性规律的同样的方法得到。奇素数幂环Hp^n是构成HM横向扩张环的基本单元，HM横向扩张环的特性规律，可以通过同余式组从奇素数幂环Hp^n得到，对此似乎没有必要再作过多的赘论了。但是，对于Φp^n欧拉群里的一个特殊规律，还必须将其作为一个定理予以严密证明。
定理：Φp素数群的全体原根g，必定全部都是Φp^n欧拉群里的最大生成元。所有的Φp^n欧拉群，必定全部都是循环群。
证明：如果g是Φp素数群里的一个原根，则有gp-1≡1（mod p），即有gp-1=mp+1，若令pn-1=s，那么gp-1的pn-1=s次方，就可以展开为
g（p-1）s=SC0（mp）S+SC1（mp）S-1 +…+SCS-1（mp）+1
由于等号右边除了最后一项为1之外，其它的各项都可以被pn整除，所以此式又可以表示为g（p-1）s≡1（mod pn），这就是说，Φp素数群里的原根g，它们在Φp^n欧拉群里的生成周期为（p-1）pn-1。由于Φp^n欧拉群里的元素的数量为：φ（pn）=（p-1）pn-1，所以Φp素数群里的原根g，都是Φp^n欧拉群里的最大周期元素，因此，所有的Φp^n欧拉群，全部都是循环群。
二，4k+1形素数幂的特殊规律
显然，Φp^n欧拉群全体元素的1至4k pn-1次方，同样也能构成一个剩余方阵。在这个剩余方阵，由于存在四次剩余子群，所以它们的二次剩余子群里的全体元素，必定两两结对加法互逆。若令a和b是它们的一对加法互逆元素，即有a+b=rpn，a+b≡0（mod pn）。
如果a1和a 2是a的两个底根，b1和b 2是b的两个底根，当然a1和a 2，b1和b 2必定是二对加法互逆元素，于是就有a12+ b12=r1pn，a12+ b22=r2pn，a22+ b12=r3pn，a22+ b22=r4pn。我们以后将证明在这个剩余方阵里，会有许多二个数的平方之和为pn，但是其中只有一组的二个数，不仅两者互素并且也与pn互素，称之为二元二次不定方程x2+y2= pn的本原解。
根据上面这个关于原根的定理，即可知道当奇素数p为4k+1形素数时，在Φp^n欧拉群里，其最大周期元素g的kpn-1次方与3kpn-1次方之间，必定既加法互逆又乘法互逆，即有g^kpn-1+ g^3kpn-1= g^kpn-1(1+ g^2kpn-1)≡0（mod pn）；g^kpn-1×g^3kpn-1= g^4kpn-1≡1（mod pn）。
如果a和b是二元二次同余方程x2+y2≡0（mod pn）的本原解，那么，它们就必定具有ag^kpn-1≡b，bg^3kpn-1≡a（mod pn）之规律，这是因为a2+b2=a2+ a2g^2kpn-1=a2（1+ g^2kpn-1）≡0（mod pn），a2+b2=b2+ b2g^6kpn-1=b2（1+ g^2kpn-1）≡0（mod pn）。
有趣的是只要a和b具有ag^kpn-1≡b，bg^3kpn-1≡a（mod pn）之规律，那么，a+b和a-b就必定也同样具有这种规律，这是因为a+b≡bg^3kpn-1+ag^kpn-1≡（bg^2kpn-1+a）g^kpn-1≡（a-b）g^kpn-1（mod pn），a-b≡bg^3kpn-1-ag^kpn-1≡（b-ag^2kpn-1）g^3kpn-1≡（a+b）g^3kpn-1（mod pn），由此即可知道所有的2na和2n b，全都具有这种规律。
三，种子勾股数的二种算法
推算种子勾股数可以采用两种完全不同的算法，一种算法是根据p=u2+v2运用勾股公式，立即得到一组种子勾股数为：p=u2+v2，x=2uv，y=u2-v2。另一种算法是根据“表素数为两数平方和的问题”所提供的算法，运用遍乘的方法同样可以得到一组种子勾股数。当然，我们必须证明，运用这两种不同算法的推算结果必定完全相同。
在Φp素数群里，由于ug^k≡v，vg^3k≡u（mod p），所以可以变换得到2uvgk≡u2-v2，（u2-v2）g3k≡2uv（mod p）。这是因为2uvgk≡2v2g2k≡（1-g2k）v2g2k≡（g2k-1）v2≡v2g2k- v2≡u2-v2（mod p），（u2-v2）g3k≡v2（g2k-1）g3k≡v2gk（g4k-g2k）≡2v2gk≡2uv（mod p）。
由于u2-v2≡2uvgk≡2uvg^（4k +k）≡2uvg^kp，2uv≡（u2-v2）g3k≡（u2-v2）g^（12k +3k）≡（u2-v2）g^3kp，所以，若将Hp^2奇素数幂环里的全体元素，按照由小到大的顺序排列，并且将它划分为p个块，每个块里各有p个元素，那么在其第一个分块里，必定存在着一个元素2uv，它与g^kp的乘积u2-v2，仍然还是第一个分块里的元素。
应该说运用上述遍乘的方法，得到第一个分块里的2uv和u2-v2，不仅十分繁琐运算量极大，而且还不能严格证明其唯一性。为此，我们不妨令u2-v2=x，uv=y，g^3kp≡c（mod p2），那么通过下面的二元一次不定方程，既可以大大降低其运算量，还可以一并证明其唯一性。
cx=2y+ p2。
其实，对于一个p=4k+1形素数来说，只要4k不是一个平方数，我们仍然可以通过解开二元一次不定方程cx=2y+p的方法，不仅可以迅速得到其中的u和v，而且，还能对其唯一性予以比较简洁的证明。如果4k是一个平方数，显然它已是两数平方之和的表示，若是它另有两数平方之和的表示，则说明它不是一个素数。由此或许可以得到证明费马素数只有五个的又一个方法，找到分解费马合数的办法。2012年5月24日。