“探索梅森素数的分解”的回复，实在有些莫名其妙。

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“探索梅森合数的分解”是我递送给“火花”的第十篇文章，“火花”回复的却是“探索梅森素数的分解”，实在有些莫名其妙。请问审稿专家，梅森素数可以分解吗？本人有些才疏学浅，只知素数的分拆是数论中的一个极其重要的问题，从未听说过还有素数的分解问题。当然，探索梅森合数的分解，是一个对于2元素的同周期的分解问题。由于我的这篇文章，并未真正解决梅森合数的分解问题，因此审稿专家大可直接了当的予以退稿，何必如此转弯抹角的予以回复：
“经专家审阅，认为：1，本文第二部分通过二元一次不定方程来分解梅森合数，理论上是对的（而且是显然的，这种办法容易想到），问题是遇到大数时缺乏实际可操作性。2，本文中对里本佰（伯）姆《博大精深的素数》一书进行了评论。但是学术评论应实事求是，不宜扣帽子，如“多处地方含沙射影的（地）诽谤污蔑了我国的古代数学”、“贩卖各种牛角尖的杂货铺”、“不学无术”、“别有用心”等用语，不是学术争鸣应取的态度。3，从网上搜得此书作者为加拿大Paulo Ribenboim（P•里本伯姆），中文版由孙淑玲、冯克勤翻译，科学出版社2007年出版，建议作者直接与科学出版社或译者联系、商榷。”
这个回复的实质内容是：“州官可以任意放火，百姓决不允许随意点灯。”我在给白院长的第六个电子邮件里，已经附带指出了《博大精深的素数》，以及出版社的问题。如果听任我们的专家教授，我们的杂志刊物，我们的出版部门去任意的传播负能量，那时极其可怕的事情，下面给出我给白院长的第六个电子邮件的内容：
白院长：您好！
春节期间，我放下了手头上的所有的事情，撤空了身体，第三次专门认真细读了冯克勤的《平方和》。我花了九牛二虎之力，总算大致弄懂了此书上半部分的内容，而此书的下半部分则与平方和问题没有什么关系，因此，大可不必非得立即全都搞清楚不可。
由于在此书的上半部分里，其大大小小的错误有数十处之多，有算理算法方面的，也有运算表达方面的，实在让人觉得有些莫名其妙。除了欧拉对于二平方和的证明，拉格朗日对于四平方和的证明，以及所谓的“费马的无穷递降法”都是较大的错误之外，还有以下一些较大的错误。
高斯为了证明三平方和问题，尽管搞出了他的那套繁琐的二次型理论，然而高斯的证明仍然是错的，三平方和应该表示为n=2x2+y2，不能表示为n=x2+y2+z2。高斯为了求得表整数为二平方和的表法公式，又搞出了一套晦涩的高斯整数环理论，然而运用这套理论所推导出来的公式r2（n）也是错的。冯克勤根据这个公式算出r2（4500）=16，按照我的算法则应为r2（4500）=2，4500=142+662=302+602。
后来的爱森斯坦和M.D.Hirschhorn等人运用母函数，通过雅可比恒等式及椭圆模函数等更玄虚多东西，同样还是给出了这个错误的公式。对于一个p=2v+1（v为4k-1形奇数）素数来说，它们或许只能分拆为p=3x2+y2或p=2x2+y2+z2，或许既可以分拆为p=3x2+y2，又可以分拆为p=2x2+y2+z2，因此表整数为四平方和的表法公式，根本就不可能存在，然而，他们居然能够离奇的给出这个根本就不可能存在的公式r4（n）。
冯克勤说表整数为三平方和的表法公式，要通过更高深的数学才能给出。其实，表整数为三平方和的表法公式，应该与表整数为二平方和的表法公式完全类似。因为，对于一个p=2v+1（v为偶数）素数来说，其pr可以分拆成[（r+1）/2]种x2+y2形式，即有r2（pr）=[（r+1）/2]。然而对于一个p=2v+1（v为4k+1形奇数）素数来说，其pr同样可以分拆成[（r+1）/2]种2x2+y2形式，同样也有r3（pr）=[（r+1）/2]。
《平方和》两度予以发行，不知这两家出版社是如何审定这本错误百出的书的。冯克勤还与孙淑玲合译了里本伯姆的《博大精深的素数》，此书只是一个贩卖各种牛角尖的杂货铺，作者多处对我国的古代数学进行了恶毒的诽谤，然而译者却未作任何的解释，难道冯克勤对于我国的古代数学，也真的一无所知吗？我国这些年出版了不少数学书籍，不知其中有多少是传递正能量的，对于有些书里的错误，读者与作者能展开公正平等的辩论吗？此致，
敬礼！
倪则均，2014年2月6日。
我的“探索梅森合数的分解”，尽管未能真正解决梅森合数的分解问题，我觉得我还是应该如实的给出。现在这个问题我已经彻底的解决，如果“火花”不让发表我的“素数的判别与合数的分解问题”，我会立即将其在“数学中国”上公开的。当然这是一个涉及到密码编制的重大问题。倪则均，2015年1月4日。

探索梅森合数的分解
倪则均
一，欧拉的特殊判别与分解方法
里本佰姆在他的《博大精深的素数》一书上，多处地方含沙射影的诽谤污蔑了我国的古代数学，其实里本佰姆只是一个不学无术之人，他的这本书简直就是一个贩卖各种牛角尖的杂货铺，其中的内容不仅都是抄来的，而且许多地方还抄错了。或许里本佰姆也想展示一下他自己的才学，然而他的展示只能是让人觉得晦涩难懂。例如对于欧拉分解梅森合数的方法，他给出了下面的命题与证明：
命题：若q为素数，则2q+1│Mq当且仅当2q+1为素数。并且在2q+1为素数时，若q＞3，则Mq为合成数。
证明：令n=2q+1│Mq，由于22对于模n的余数不能为1，可知2q对于模n的余数不能为1，22q-1=（2q+1）Mq。由第2.3的Lucas检测3可知n是素数。反之若p=2q+1为素数。由于p≡7（mod8），（2│p）=1，所以有整数m，使得2≡m2（mod p）。于是2q≡2（p-1）/2≡mp-1≡1（mod p），即p│Mq。又若q＞3，则Mq=2q-1＞2q+1=p，从而Mq是合成数。
显然，这是由于里本佰姆尚未掌握，素数群里的剩余方阵的规律，所以会将原本非常简洁明了的问题，搞得如此繁琐复杂晦涩难懂。下面按照素数群里的剩余方阵的规律，重新给出上述命题及证明，让大家作个比较。
命题：如果q是一个4k-1（k＞1）形素数，p=2q+1也是一个素数，那么素数p必定整除Mq=2q-1。
证明：由于q是一个4k-1（k＞1）形素数，所以可以将p=2q+1转换成为p=8j-1形素数，根据高斯的补余律，可知2是p的二次剩余，即有2q≡1（mod p）。由此得到Mq=2q-1≡0（mod p）。
二，通过二元一次不定方程分解
显而易见，在全体梅森合数之中符合上述欧拉条件，可以简捷分解的梅森合数只是很小一个部分，那么对于不不符合上述欧拉条件的大部分梅森合数来说，我们又该如何分解它们？其实，这类梅森合数的分解，正是大数分解的诸多难题之一，尽管许多西方数学家对此作出了极大的努力，然而似乎至今尚未取得什么实质性的突破。
下面介绍一种通过二元一次不定方程，分解全体梅森合数的通用方法。对于Mq=2q-1梅森合数来说，由于必定是一个3k+1形奇数，所以它既可以分解为二个3k+1形奇数的乘积形式，也可以分解为二个3k+2形奇数的乘积形式。如果指数q是一个3k+1形素数，那么其分解形式为前者，否则其分解形式为后者，由于篇幅的限制，具体证明只好略去不写。对于前者则有
Mq=2q-1=（2qx1+1）（8qx2+1）               （A1）
其中x1和x2都含有素因子3，并且qx1为4k-1形数，qx2为4k+1形数。同时（2qx1+1）和（8qx2+1）不管是素数还是合数，它们的2的周期必定都是q，因此这样的分解称为同周期分解。若是对上面个乘数都作转换，则有：
Mq=2q-1=（8y1-1）（2y2-1）                  （B1）
由于（B1）式里的（8y1-1）是（A1）式里（2qx1+1）的转换，（B1）式里的（2y2-1）是（A1）式里（2qx1+1）的转换，所以它们所表示的是同一个数，因此有
8y1-1=2qx1+1，8y1=2qx1+2，4y1=qx1+1，4y1≡1（mod p），
2y2-1=8qx2+1，2y2=8qx2+2，y2=4qx2+1，y2≡1（mod p）。
显而易见，这个演算过程，就是将梅森合数的分解转变为，求解一个二元一次不定方程的过程。运用这个解法不仅可以分解开所有的梅森合数，而且还可以应用于梅森素数的判定。对于后者则有
Mq=2q-1=（2qx1+1）（8qx2+1）               （A2）
Mq=2q-1=（8×3y1-1）（2×3y2-1）            （B2）
8×3y1-1=2qx1+1，8×3y1=2qx1+2，12y1=qx1+1，12y1≡1（mod p），
2×3y2-1=8qx2+1，2×3y2=8qx2+2，3y2=4qx2+1，3y1≡1（mod p）。
由于此时已经设定二个乘数为3k+2形奇数，所以1不可能作为其中的一个乘数，因此，只有当Mq=2q-1为合数时，才能给出正确的分解结果，若为素数则给出一个错误的结果，不能不说这也是判别梅森素数的一种方法。
三，二元一次不定方程的解法
如何解开一个二元一次不定方程，几乎所有的数论书上都是采用“辗转相除法”，极其繁琐很不实用。其实，秦九韶的“大衍求一术”就是一个计算乘法互逆元素的公式，只是秦九韶的文字表达没有叙述清楚而已。“大衍求一术”被放在《数书九章》的首要位置，足以说明它是秦九韶的得意之作。驰名中外的“孙子定理”不是他的首创，他只是将完整的“孙子定理”从祖冲之的“大明历”里分离了出来而已。如果a与m互素，那么a对于模m的乘法互逆元素k，可以运用以下公式算出，这个公式就是秦九韶的“大衍求一术”
k1=-q1，k2=q1q2+1，k3=-q1（q2+1）-q3，k4=q1（q2q3q4+q2+q4）+q3q4+1，
k5=-q1（q2q3q4q5+q2q3+q4q5+q2q5+1）-q3q4q5-q3-q5，…
其中的qi是辗转相除的各次之商。现在大家都认为著名的“辗转相除法”，出自于欧几里得的《几何原本》，这是不对的，它的源头应该是我国古老的“更相减损术”，这种算法应该早在我国的商代就已经出现，因为我国的商代已经有了最大公约数和最小公倍数的概念。初本《孙子算经》里的“孙子问题”，就是根据这种算法所提出来的。
里本佰姆在《博大精深的素数》的第24页，对于我国的“孙子定理”竟然写出了下面这段文字：“但是A.Zachariou在私人通信中告诉我，在这之前希腊人就知道这个结果。由于希腊人发现了许多定理，我对这个结果还是采用传统的名称，我相信每个读者都知道它。”这是什么话！我国古代的许多数学成果，都被别人抢去了，再抢去一个“孙子定理”也无所谓，但是里本佰姆必须交代清楚，到底是那一个古希腊人，早就知道了“孙子定理”，其依据又在那里，否则我只能说他是别有用心。