“表素数为两数平方和的问题”的退稿，似乎真的是阴差阳错。

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“表素数为两数平方和的问题”，是我于2012年2月14日，递送给“火花”的第六个稿件，由于内容涉及到了王元的《谈谈素数》，估计审稿专家会要征求王元的意见，因此我想我也应该与王元取得联系，以免发生阴差阳错的退稿事情。由于我不知道王元的邮址，于是只好请哈尔滨工业大学出版社的刘培杰数学工作室，代将我的电子邮件转递给王元。然而，阴差阳错的退稿事情，却于2012年07月19日发生了，这是我即将胃癌手术的前夕。审稿专家的退稿意见是：
“经专家审阅，认为：本文中认为a2+b2≡0（mod p），就有a2+b2=p。但是这是不一定的。文中假定a和b都是第一分块里的元素，什么是“第一分块”？如果b不在“第一分块”又会怎么样？您的来稿不符合本栏目的要求，因此予以退稿。”这个退稿意见实在有点可笑，难道他没有读过陈景润的《初等数论》，尽管欧拉对于任何一个4k+1形素数，都可以表示为两个数的平方和的证明是错的，但是陈景润却给出了极其严密的论证。我的“表素数为两数平方和的问题”，应该是对于陈景润的严密论证的再深入，具体给出了如何得到这两个平方数的一套算法。
正是由于“表素数为两数平方和的问题”的退稿，从而引发出随后一连串的，过去从未意想到的“怪事”。这个退稿意见我当然不服，我强忍着化疗的痛苦，努力再写出了“表素数为两平方和的唯一性”再投，这次审稿专家抬出了冯克勤的《平方和》来吓唬我，不料冯克勤的《平方和》只是一只纸老虎，其中的错误成堆。高斯的二平方和表法公式肯定错了，由于他的二次型理论也错了，所以，高斯的《算术研究》也是纸老虎。倪则均，2014年12月31日。
表素数为两数平方和的问题
倪则均
费马猜想一个p=4k+1形素数，必定可以唯一的表示为两个数的平方和。欧拉证明如果两个数的平方和唯一表示为一个素数，那么这个素数必定是p=4k+1形素数。有人说这是欧拉对于上述费马猜想逆命题的证明，这种说法似乎有点牵强，其实，上述费马猜想的逆命题根本就不存在，因为费马接着还进一步猜想，这个p=4k+1形素数的平方，也必定可以唯一的表示为两个数的平方和。
王元院士在他的《谈谈素数》第10章节里，从正面论证了上述费马猜想的前半部分。王院士的证明极其严密，可谓无瑕可击，但是整个论证过程似乎显得有些繁琐，并且有几个关键之处让人不太好懂。前些年我也研究过这个问题，发现运用以下方法予以证明，可以简洁明了一些，让人容易理解一点：
如果p=4k+1是素数，那么将其素数群里的全体元素，按照由小到大的顺序排列，并且将它划分为2k^1/2个块。若是以任何一个原根g的k次方，乘以第一个分块里的全体元素，那么它们的积的模p余数，必定分别落在各个分块之中。
假设a和a×gk≡b（mod p）都是第一个分块里的元素，则有
a2+b2≡a2+（a gk）2≡a2[1+g2k]≡0（mod p）
这是将一个p=4k+1形素数，表示为两数平方和的具体算法。如果根据这个算法编制出一套程序，那么即可将任何一个具体的p=4k+1形素数，通过电子计算机迅速给出，它可以分拆成为那两个数平方和。当然，这首先要设法找出这个p=4k+1形素数的一个最小的原根，关于素数的原根问题，已在另一篇文章里作过论述。
上述费马猜想后半部分的证明要繁琐一些，但是极为重要，因为费马自己也意识到，这与他的费马大定理，仅是一个问题的两个方面，因此只要能简洁证明前者，那么后者应该也会有比较简洁的证明的。我一直认为费马的那个“真正的非常奇妙的证明”必定存在，只是人们没有找到而已。2012年2月14日。

maoguicheng

费马所说的绝妙证明方法已经找到了，但不是用素数的平方公式证明的，他是用毕达哥拉斯整数方程的通解公式来证明他的费马大定理成立的，现在发表在这个网站里，就在你的帖子下面，题目是“费马大定理”。