商群到底是什么？

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我在“探索证明只有5个费马素数”一文里首先就指出，证明Fn费马素数只有n＜5时的五个，可以运用多种不同的方法予以证明，本文是通过ΦFn素数群里的一个特殊商群来证明这个问题的，因为这个方法最为简洁明了。我在讨论中答复张中石先生时又说：
“希望由于你的参与，能引发华为高层对于民科的关注，民企与民科应该相互支持，共同应对各种形式的霸道。本文确实有点不太好懂，因为前面的“通过素数环认识素数群”，被审稿专家以“可能没有什么关系”为由而否定了。本文的前题“通过剩余方阵认识商群”，也被他们的“公理化”所否定。
“公理化”是西方数学的产物，属于拍脑袋的东西，难与客观实际完全相符，造成了西方数学一次又一次的危机。“算法化”是中国数学的特色，由于完全来自于实践，所以不易出错，因此只能运用“算法化”去纠正“公理化”的错误，不能运用“公理化”去否定“算法化”的成果。中国数学的复兴，世界数学的解危，都只能通过“算法化”去实现。”
“火花”对于我的“通过剩余方阵认识商群”的退稿意见是：
倪则均 先生/女士：您好！
首先，感谢您对本栏目的关注！
经专家审阅，认为文中Φp意义不明，不明白作者所说的Φp（p为素数）素数群是什么。Φ是表示欧拉函数吗？如果是的话，那么Φp=p-1就不是素数了，更谈不上素数群。对于剩余方阵和剩余矩阵的定义文中没有交代清楚。
此外，群（及子群、商群）是代数中的概念，在数学的所有分支以及物理、化学、生物、工程等领域都有重要的应用。作者“通过剩余方阵认识商群”，反而把眼界缩小了。
您的来稿不符合本栏目的要求，因此予以退稿。此致
敬礼！
《科学智慧火花》编辑组，2012年07月17日。

显然，这位专家根本没有看懂我的“通过剩余方阵认识商群”，这样的退稿意见，实在有些牛头不对马嘴。我想我的关于合数环的系列文章，至今还一直被硬压着，或许也是由于这些文章，他们也都没有看懂。因此我觉得在给出“通过剩余方阵认识商群”的原文之前，有必要先对这些新的概念，作出一个简单扼要的说明。千万要注意的是，我的群环域是一个新概念，它是我们研究自然数的最有力的工具。
我查了不少含有群论内容的书籍，它们都说置换群是整个群论的基础，然而，置换群却根本无法解释清楚，商群到底是一个什么概念？所谓的正规子群是一个什么概念？所谓的陪集又是一个什么概念？商群与划分之间到底是一种什么关系？为什么一个陪集里的任何一个元素，都可以作为这个陪集的代表参与各种运算，最后的运算结果，决不会由于代表的更换而改变？
其实，上面的这些问题，只要通过素数群的剩余方阵，即可得到十分圆满的解答。任何一个Hp（p为素数）素数域，全都具有两个子群，一个是只有一个元素p的因子群，另一个则是其它p-1个，与模p互素的元素所构成的欧拉群，一般的数学书上，也是将这个欧拉群表示为Φp，专门称之为素数群，以区别于其它种种的欧拉群。如果以Φp素数群的p-1个元素作为底数，那么它们的1至p-1次幂剩余，就会构成一个剩余方阵。
若是p-1=df，那么这个剩余方阵的d次剩余，就会有f个元素，构成一个循环的d次剩余子群。反过来的情况也是一样的。对于d次剩余子群来说，其中的f个元素都有一个底根集合与之对应，每一个底根集合里全都具有d个底根。如果a是d次剩余子群里的一个元素，那么对应于a的底根集合里的d个底根，它们的d次剩余必定全部都是a。由于在任何一个剩余子群里，都会含有元素1，因此d次剩余子群里的1，所对应的底根集合，必定正是f次剩余子群里的d个元素。
因此，d次剩余子群就是f次剩余子群的正规子群，f次剩余子群就是d次剩余子群的正规子群，这就是一般的数学书上，所说的正规子群的概念。d次剩余子群里的f个元素，它们所对应的f个底根集合，就是一般的数学书上，所说的陪集的概念。由于f个底根集合与d次剩余子群之间，完全是一个同构关系，所以f个底根集合必定也是一个群，这就是商群的概念。f个底根集合之间，它们的交集应该全都为空，这就是商群与划分之间的关系。
总之，置换群解释不了的问题，可以通过素数群去予以解释。当然，置换群可以解释的问题，素数群不仅也全都可以予以解释，而且，素数群的解释会更为简洁明了。所以我一直认为“群论”，应该与“数论”合二为一。倪则均，2014年12月29日。


通过剩余方阵认识商群
倪则均
1，三种子群。
不管是Φp（p为素数）素数群还是Hm（m为合数）合数环，在它们的剩余方阵或剩余矩阵里，如果仅是从性质上来讲，它们都有着三种不同的子群。若是就其构造而言，那么素数群里的这三种子群是完全相同的，而合数环里的这三种子群则有所不同。
剩余方阵里的第一种子群，是纵向列里的生成子群表示为SCdj，下标dj为这个生成子群的基数，也是这个循环群的周期，它必定是p-1的一个因子数。第二种子群是横向行里的剩余子群表示为SYdk，下标dk为这个剩余子群的方次行数，当djdk=p-1时，则有SCdj=SYdk。
由于元素1是各个剩余子群里的共有元素，因此如果元素1是SYdk剩余子群里的一个元素，则有剩余方程xdk≡1（mod p），显然当djdk=p-1时，它的底根集合可以运用原根g表示为DGdj={gdj，g2dj，…，gdkdj≡1}。
应该不难看出这个底根集合里共有dk个元素，它们与SYdj剩余子群里的dk个元素完全相同，所以这个底根集合也是一个子群。现在的数学书上称这个子群为正规子群或不变子群，笔者觉得还是称其为底根子群比较贴切一些。
反过来也是一样的，SYdj剩余子群里的元素1，也有一个底根子群DGdk={gdk，g2dk，…，gdjdk≡1}，其中的dj个元素与SYdk剩余子群里的dj个元素完全相同，即有DGdk=SYdk={gdk，g2dk，…，gdjdk≡1}。
2，认识商群。
对于剩余方程xdk≡gidk（mod p）来说，当i=1，2，…，dj-1时，gidk是SYdk剩余子群里除了1之外其它的dj-1个元素，不管i取用那一个数，它们的底根集合都可以统一的表示为
giDGdj=gi×{gdj，g2dj，…，gdkdj≡1}={gdj+1，g2dj+1，…，gi}。
显然这些底根集合里的元素，也全部都是dj个，但是由于没有与之同构的子群，所以它们全都不能成群，只能是一个一般的集合而已。如果将上面的底根子群DGdj，也统一表示为g0DGdj，那么这些底根集合的集族为JZdj={g0DGdj，g1DGdj，…，g dj-1DGdj}。
现在的数学书上称这个集族为商群，但是却说不清楚这个集族何以成群的道理。其实原因十分简单，因为集族JZdj与SYdk剩余子群之间是一个同构的关系，由于SYdk剩余子群是一个循环群，所以集族JZdj也是一个循环群，SYdk剩余子群里的生成元，它们的底根集合必定也是JZdj集族里的生成元。
由于集族JZdj里的元素是底根集合，因此其元素之间的运算为底根集合之间的运算，底根集合之间的运算，可以通过它们各自的代表的运算予以实行。其实，在一个底根集合里，其中的每一个底根都可以作为这个底根集合的代表参与运算，这就是说，每一个底根集合不管派出那一个底根作为其代表参与运算，它们的运算结果全都相同。
对于这些十分有趣的运算规律，现在的数学书上也都没有解释清楚，其实情况并不怎么复杂，这是因为每一个底根集合，都可以对它作出多种不同的表示。例如对于giDGdj={gdj+i，g2dj+i，…，gi}来说，它就有下面dk种不同的表示方式：
gdj+i×{gdj，g2dj，…，gdkdj≡1}，g2dj+i×{gdj，g2dj，…，gdkdj≡1}，…， gi×{gdj，g2dj，…，gdkdj≡1}。
在SYdk剩余子群里，其gsdk和gtdk二个元素的乘积为g（s+t）dk，那么这二个元素的底根集合gsDGdj和gtDGdj的乘积gs+tDGdj，正是这二个元素乘积g（s+t）dk的底根集合。至于为什么JZdj集族必定也是一个循环群的问题，或许运用下面的实例予以解释更为清晰明了。在Φ17素数群的剩余方阵里，它的四次剩余子群SY4={1，4，13，16}，4和13为其生成元，由于4的底根集合为{6，7，10，11}，则有
方次        1        4        {6，7，10，11}
        2        16        {2，8，9，15}
        3        13        {3，5，12，14}
        4        1        {1，4，13，16}

Φ17素数群的剩余方阵比较特殊，由于4×4=17-1，所以它的底根子群也为DG4={1，4，13，16}，与其四次剩余子群SY4={1，4，13，16}完全相同。若要证明2^2m+1形素数只有m＜5时的五个，就必须充分利用这个特殊规律。
3，等和划分。
划分的概念在我们的中国数学里极为古老，我国的“洛书”应该是结绳文化时期的数学结晶，它是对于九个个位数的等和划分。我国的古代数学就是由“洛书”发展出了后来的“纵横图”，流传国外后变成了风靡全球的“幻方”。
划分对于我们今天的数学来说，好象已经变成了一个全新的概念。现代数学定义说，由一个集合的正规子群所得到的全体陪集，构成对于这个集合的一种划分。这样的定义似乎没有解释清楚，这到底是一种什么样的划分。
其实这个正规子群就是上述底根子群，全体陪集就是上述全体底根集合。由于任何一个底根子群都是一个等比数列，那么按照等比级数求和公式可知，其全体底根之和必定为0，即模数p的整倍数。
由于任何一个底根集合，都是一个数与底根子群的乘积，因此每一个底根集合的全体底根之和也都必定为0，也都是模数p的整倍数。由此可见，全体底根集合是对于Φp素数群全体元素，所作的一种和为0的等和划分。
这种和为0的等和划分，是针对模数p的余数而言的，对于一般情况来说，它们不是真正的等和划分。但是，只要其中存在着真正的等和划分，并且还能使它们构成一幅纵横图，那么即可说明这种和为0的等和划分，决不是无源之水。
上面的那个实例是笔者特意挑选的，它的四组底根集合正好构成以下一幅四阶幻方，但是还不是一幅真正的纵横图，因为纵横图需要二条对角线上的和也为34，因此要使它成为一幅真正的纵横图，还需要再作调整。
1… 4  13  16
6… 7  10  11
12…14  3   5
15  9   8   2