|
[并非闲话] π(x+y)≤π(x)+π(y) 否?
[这个贴子最后由申一言在 2009/04/20 09:37pm 第 3 次编辑]
试证:
π(x)+π(y)≥π(x+y)
证
由中华单位论的单位个数定理知:
Mn+12(√Mn-1)
(1) π(Mn)=----------------
Am
因此
X+12(√X-1)
(2)π(x)=--------------
Ax
Y+12(√Y-1)
(3)π(y)=-------------
Ay
X+Y+12(√(X+Y)-1)
(4)π(X+Y)=------------------
A(x+y)
1) 当 X≤100,Y≤100,X+Y≤100, Ax=Ay=A(x+y)~8
所以:
X+Y+12(√(X+Y)-1)
(5) π(x+y)=-------------------
8
X+12(√X-1)
(6)π(x)=--------------
8
Y+12(√Y-1)
(7)π(y)=-------------
8
因此
(6)+(7)得:
X+12(√X-1) Y+12(√Y-1) X+Y+12(√X+√Y)-24
(8) π(x)+π(y)= -------------- + ------------=-------------------
8 8 8
假设 π(x)+π(y)≥ π(x+y)
则:
由(5),(8)式得
12(√X+√Y)-24≥12√(X+Y)-12
(9) √X+√Y≥√(X+Y)+1, 显然本式当X≥4,Y≥4时成立.
① X=Y=4
左边=4,右边=√8+1, 左边=4≥右边=√8+1, [实际 6>5, 2×(1,2,3),(1,2,3,5,7)]
② X=Y=16
左边=8,右边=√32+1, 左边=8≥右边=√32+1,[实际14>12,2×(1,2.3.5,7,11,13);(1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31)]
③ X=4,Y=16,
左边=6,右边=√20+1, 左边=6≥右边=√20+1, [实际10>9,(1,2,3)+(1,2,3,5,7,11,13);(1,2,3,5,7,11,13,17,19)]
显然当 X≥4,Y≥4,X+Y≤100时, π(x)+π(y)≥π(x+y)成立.
2)假设当n=i时成立,
那么
3)当n=i+1时也成立.
由中华单位论的最大单位个数(素数)的系数知:
当 X=i+1=U,Y=j+1=V, X+Y=U+V
则:
Ax=√U-1,Ay=√V-1,A(x+y)=√(U+V)-1
因此
U+12(√U-1)
(10) π(u)=----------- = √U+12
√U-1
V+12(√V-1)
(11) π(v)=-------------=√V+12
√V-1
U+V+12(√(U+V)-1)
(12)π(u+v)=-------------------=√(U+V)+12
√(U+V)-1
令π(u)+π(v)≥π(u+v)
即 √U+12+√V+12≥√(U+V)+12
(13) √U+√V≥√(U+V)-12
由(9) √X+√Y≥√(X+Y)+1, 显然本式当X≥4,Y≥4时成立.可知
当 X=i+1,Y=j+1, 时 π(x)+π(y)≥π(x+y) 也成立.(加1成立,那么减12则更成立!)
证毕.
欢迎批评指教!
|
|