[讨论]我与刘福关于对“五色定理”的意见交流

雷明85639720

(a)若V1与V3属于G1,3的不同连通分支，则将V1所在的连通分支中，1,3两种颜色互换，于是V1涂颜色3，腾出1来给v着色，参见图2.
（b)若V1 与 V3属于G1，3的同一连通分支，联合V形成约当曲线。对V2与V4，同理可腾出2或4给v着色。
【1】定理1：设G是简单平面图，则G中至少存在一个顶点其度数<、= 5
二、我理解---归纳法证明之关键---是归纳假设，及如何使用归纳假设。
三、仿5色定理的证明，可试写四色定理的证明：
（1）N=、<4时，结论显然成立。
（2）设N=K（K>4)时结论成立，N=K+1时如下证明。由平面简单图知，定有顶点v，且d(v)=、<5。设G’=G-v，则G’是K阶图，由归纳假设知，G';是4-可着色的。下面的证明将G’还原成G时，v是可着色的。
1）若d(v)<4,v的着色无问题。
2）若d(v)=4,（留待讨论）
3) 若d(v)=5，（留待讨论）
四、对留待讨论部分，欢迎广泛交流，围绕【出现5色定理的根源】
2013,1,27,我回复：
我认为你这个道路是不对的。本来是赫渥特在对他的图不能进行4—着色的前提下，退一步仍然用了坎泊所创造的颜色交换技术得出的五色定理，你却要以他为“榜样”来证明四色猜测，这是不对的。象赫渥特所说对于平面图有五色定理，我说对平面图来说还有6 色定理，7色定理，……，直到n色定理呢，这有必要吗。我如果对一个图用5种颜色也着不了色时，我也可以说五色定理是错的，我再退一步得到一个六色定理来，有什么必要吗。赫渥特的所谓五色定理与四色猜测的关系，完全与陈景润的“1＋2”与哥德巴赫猜想的关系一样，分别是两回事，是风马牛互不相干的事。在赫渥特的图还不能进行4—着色的年代里，这样提出问题还马忽说得过去，而现在明明的已经知道赫渥特图是可以4—着色的，那么现在再提出这样的问题就没有任何道理了。朋友，你说是不是这样的呢。
2013,1,28,刘福回复：
【我认为你这个道路是不对的。本来是赫渥特在对他的图（依照肯普的方法）不能进行4—着色的前提下，退一步仍然用了坎泊所创造的颜色交换技术得出的五色定理，你却要以他为“榜样”来证明四色猜测，这是不对的。象赫渥特所说对于平面图有五色定理，我说对平面图来说还有6 色定理，7色定理，……，直到n色定理呢，这有必要吗（确实无必要）。我如果对一个图用5种颜色也着不了色时，我也可以说五色定理是错的，我再退一步得到一个六色定理来，有什么必要吗。赫渥特的所谓五色定理与四色猜测的关系，完全与陈景润的“1＋2”与哥德巴赫猜想的关系一样，分别是两回事（我也认为是两回事），是风马牛互不相干的事。在赫渥特的图还不能进行4—着色的年代里，这样提出问题还马忽说得过去，而现在明明的已经知道赫渥特图是可以4—着色的，那么现在再提出这样的问题就没有任何道理了（这样说，不尽妥当。我在下面说）。朋友，你说是不是这样的呢。】
雷明，现在还没有遇到原则属于道路的问题。首先，我把您的帖子全部录下来，我认为需要补充的加在括号里了。我为什么发出题为---出现5色定理的根源的帖子呢？就是对希伍德在归纳法中使用论据----肯泊的方法---有质疑。因为按这里的逻辑就可以得到6色定理.....直到n色定理。
我不是以希伍德为榜样，我特意写了标题：...学习归纳法。就怕引起误会。我是想办法不要扩大讨论的范围。您说，现在希伍德的图可以4着色了，再提能否用归纳法证明4色定理（或猜想）就没有道理吗？正因为4色猜想还没有被人工证明，所以我提出先学习归纳法。到哪里去找用得好的归纳法呢？我把被别人承认的5色定理的证明录下来学习，本人感觉是有好处的。因为过去我看过有文章谈两个否定。一细看，他说5色定理与自然数无关，不能用归纳法。这说明什么？！
尽管，现在书面上的5色定理的证明并不是希伍德的原版，但它是全世界都承认的。这怎么见得？我是在北大出版的离散数学见到的，这是【编著】的教程。谈到归纳法，它应该是正版的，免得我们学习走样，我就选择了它作为归纳法的标杆。
接下来，我又怕没有网友跟着写4色定理证明的框架，我就包办代替地试写了一段，留下两处，以供讨论。以便更快进入用轮图定理来证明4色定理。请提批评意见。
2013,1,28,我回复：
“因为过去我看过有文章谈两个否定。一细看，他说5色定理与自然数无关，不能用归纳法。这说明什么？！”这一点我还不了解，什么是两个否定呢，你再回复时请明示一下。我们就等着看网友们用轮图定理来证明四色猜测吧。雷明
2013,1,28,我再次回复：
朋友，我是搞技术出身的，养成了说话耿直的习迟疑惯，特别是在文字上扣得很严格。所以请朋友一定要谅解我说话的耿直和不留情面。我认为我们俩几年来对四色问题的讨论和研究是认真的，负责的，希望今后继续保持这种良好的学风。友雷明
2013,1,28,刘福回复：
什么是两个否定呢？这是董徳周关于否定 希伍德的“有名反例”和他证明的“五色定理”的文章，我的博客里有同名的转载文章，请您细阅。
2013,1,28, 我回复：
我估计可能就是指董德周的两个否定，因我对董的两个否定不是怎么熟悉，所以就再专门问问。我再去你的博客中或找董的原文再看看。
2013,1,29,我回复：
刘福朋友：
1、赫渥特有所证明的所谓的“五色定理”是错的，要否定。至于董德周否定的理由对与不对，那是另外一回事。如果都是这样的不向前冲而是后退一步，那所谓的“定理”就无数多了，泛滥了。多了就无所谓定理（真理）了。
2、坎泊的证明中，没有把各种可能性都考虑完全，只通过待着色顶点与四个已着色顶点相邻（4—轮构形）的情况，就认为他证明了猜测，是不应该的。但他也不是自觉的，他还以为他把各种可能都考虑进去了呢。如果他在研究时考虑到了这种情况，可能就有两种情况的结果，一是他把这种情况（有两条连通链且相互交叉多次）的图能够进行4—着色，然后宣布自已的结果；另一种情况是他看到了这一情况，但也无法4—着色，也就不会宣布自已的证明。由于他没有把各种情况都考虑进去，所以就有十一年后的事情发生。他没办法只得承认自已“弄错了”，且“无法弥补”这个错误。赫渥特也是不能对他的图进行4—着色的，于是就产生了所谓的“五色定理”。这个“五色定理”本身同时就是对坎泊证明方法、证明的结论和四色猜测本身的否定。
3、赫渥特图能够进行4—着色，只是一九九二年前后的事，有谁在文献资料上看到过在一九九二年以前对赫渥特图的4—着色模式呢。有人甚至还说，赫渥特本人也认为他的图只是对坎泊证明方法的否定，并非对猜测本身的否定，赫渥特图并不是不可4—着色。那么我还要问，有谁又见到过赫渥特对他的图的4—着色模式呢。难道赫渥特只剩了一个顶点未着色的图都保留了下来，唯独他对他的图的4—着色模式没有保留下来吗。
4、一九九二年英国的米勒也对赫渥特图进行了4—着色，但他同时又构造了一个米勒图，他也不能对他的图进行4—着色，于是又对四色猜测怀凝了起来。谁知以后还会不会再有人构造出更难着色的构形呢。所以我认为用着色的方法是不能最终对猜测进行证明的，即不能最终得出猜测是正确还是不正确的正确结论的。
5、看到了坎泊没有把各种情况都考虑进去，说赫渥特对坎泊证明的否定是对的，因为他对赫渥特的图也不能进行4—着色。但只看到不能同时移去与待着色顶点相邻的两个同色，认为这就是对坎泊方法的否定，则是不对的。因为在现有的文献资料中，在介绍坎泊的证明时，只说到了他对4—轮的证明，而没有说到他对5—轮的证明，更没有说到有两条连通链的情况下能同时移去两个同色的问题。而只是坎泊根据他前面对4—轮的证明，也得出了在5—轮情况时，也能空出颜色给待着色顶点的。为什么赫渥特不能同时移去两个同色，就是对坎泊的方法的否定呢。坎泊也没有说在5—轮情况下，两条连通链只有一个交叉顶点时能同时移去两个同色，也更没有说在两条连通链有两个以上交叉顶点时也能同时移去两个同色呀。
6、赫渥特图不是坎泊方法的反例，更不是四色问题的反例。因为赫渥特图的确是可以4—着色的。现在已有很多的人仍然还是使用坎泊所创造的颜色交换技术都对赫渥特图进行了4—着色。董德周对赫渥特的着色方法与我的着色方法是相同的，都是从两条连通的交叉链的交叉顶点进行交换（断链），使图中原来的两条连通链断开，而又产生了另外两条只交叉一次的连通链，这时再进行一次别的链的坎泊交换，就给赫渥特图着上了图中已用过的四种颜色之一。
7、实际上我们所有人在对图着色时，都在使用着坎泊所创造的颜色交换技术。现在就说说这一技术：
7&#8226;1  坎泊链，用两种颜色交替着色的道路就是坎泊链。
7&#8226;2  坎泊交换，把坎泊链中各顶点的颜色相互调换就是坎泊交换。但交换的目的可以是不同的，有的是为了改变链中某一顶点的颜色，有的则是为了从与待着色顶点相邻的已着色顶点中空出一种颜色，而给待着色顶点着上。
7&#8226;3  当使用坎泊交换技术的目的是为了空出颜色给待着色顶点着色时，所交换的链对于由待着色顶点构成的轮来说，必须是对角不连通的，否则即就是交换了，也是空不出颜色给待着色顶点的。
7&#8226;4  当使用坎泊交换技术的目的是为了把某链进行断开时，只要从该链的任何一个顶点进行关于该顶点的颜色与该链所没有的另外一种颜色构成的链的交换即可。
7&#8226;5  我认为以上所说的就是坎泊所创造的颜色交换技术的要点。现在有哪个人在着色时不是用的这一技术呢。
8、我们对过去的了解，都是通过看书学习才知道的。但看书学习时，读者一定要有自已的思想，要对写到书上的东西去进行分折消化，吸收其中有用的、合理的东西，对那些无用的、不合理的东西要进行批判。写到书上的东西不一定全都是正确的，后来者否定前者的事是常有的事。赫渥特不是否定了坎泊对猜测的证明了吗，但他却没有、也不可能否定了坎泊所创造的颜色交换技术的本质。这一交换技术我们现在还在天天的使用着。
10、你所说的同时能移去两个同色的办法，对于赫渥特图来说，完全是可以的，因为赫渥特图从顶点1到顶点7间有若干个顶点，交换的中途可以改变交换的链形，然后再从顶点3开始进行交换，当然是可以空出两个同色给待着色顶点的。但你可一定要记得，你是进行了三次交换的，并不是两次交换就同时移去了两个同色的。如果把赫渥特图变成“九点形”（这也是一个图），使顶点1到顶点7间只有一条边时，你可以试一试，看你的办法还有用没有。看一看你还能空出两个同色不能，看看你还能给其中的待着色顶点着上图中已用过的四种颜色之一否。
就先说到这里，以后再慢慢说。
雷  明
二○一三年元月二十九日于长安
2013,1,29,刘福回复：
1，我也认为5色定理的证明有错误，我们是不管董德周否定的理由是对是错。但，请问您拿出什么理由来否定它呢？我很想知道。
2，3，这里又涉及“观点”的问题了，我暂时搁置起来（以前交流过）：如希伍德也是不能对他的图进行4着色的......及最后那句话。
6，您告诉我们的结论：“希伍德图不是...更不是...”，因为...现在已有很多...，看来【时间】是指【现在】了，对吗？
7，您说的太细了，不同的人有不同的观点。正象8中您说，都是通过看书学习才知道的，也难怪理解会有不同。
10，对希伍德图，我从张彧典老师那又学来了交换连通链的办法，方法是很多的。但，对具体图的着色办法，于证明猜想无用！
请您考虑一下第1条，早日告知。
2013,1,29，我回复：
1、就是因为“五色定理”与“1＋2”一样，也是在不能证明“1＋1”的情况下得到的一个与原命题不相干的所谓弱一点的定理。我以上的贴子已经说了，得出一色、六色、以至n色定理实是没有必要的，只能造成混乱。原命题三来是说四色，他却得邮了一个什么五色定理，又没有公开否定四色猜测，所以说这是一个模椤两可的、稳坐钓鱼台的说法。四色没有证明是正确之前我是对的，就是四色被证明是正确的了，我也没有错。这也可以回答你的第二个问题，你认为赫渥特对他的图能进行4—着色，合出来证据看看，既然赫渥特能对他的图进行4—着色，一在这么多的人（也包括你在内）还在对赫渥特图在进行4—着色是没有事干了。赫渥特的“五色定理”的证明过程我还真的没有看出来错误在什么地方，我只说他这个定理是没有必要的，是错的，错的关键是因为它与四色猜测的原命题是不相干的。既然你有“五色定理”，就应该否定四色猜测，可大家为什么又说它不是对猜测本身的否定呢。这是非常矛盾的。
2、赫渥特图不是反例等当然是我现在的认识了。在人那个时代，还没有我呢，我怎么能说他的图是不是反例呢。
3、我说得不细别人能接受我的观点吗，所以我一直反对只用一句话简单的否定别人的做法。
4、我看了张彧典的书，一直没有发现他在那里用了交换连通链的办法能空出颜色的，请你能说得细一点。至于交换后不能空出颜色的交换，这是经常用到的，但这里所交换的链是无所谓连通不连通的，最大是一条环链，但这种链里又不包括待着色顶点，不能叫做连通链。
5、你既已清楚对具体图的着色办法对证明无用，我也是越来越明白了这一点，所以我认为用着色的办法是不能最终证明猜测的正确与否的。还是得走我提出的图论的道路。
2013,1,30,刘福回复：
我一边看您的帖子，一边联想我门概念的差异---如您的（4），我以前就把环链认为也是联通的。现在才知道你的这个认识。您看，不交流怎么能行！
1）里的差异更多。
我还是选择3吧：【我说得不细别人能接受我的观点吗】，恰恰相反！为什么这样说呢？您越细，涉及概念越多。因为都是从书上学来的，理解肯定有差异，积累多了，别人无法下手回复。因为错误、正确都有。赞同不是，否定也不是。久而久之，造成交流中断。【所以我一直反对只用一句话简单的否定别人的做法。】这是属于一句话说不清楚的问题！
还是相对集中，才能谈得透彻些。
2013,1,30,我回复；
只有交流才能沟通，才能认识统一，以后我们还是要更多的交流。专业问题一定要达到统一认识，而非专业上的东西可以各自保留自已的观点。比如，我认为说得细别人容易明白，当然就容易接受，你却不是这种认识。那就各自保留吧，不影响我们之间的交流。对不起，我又要不客气了，看你的文章时是很吃力的（看图除外），有些话很长时间看不明白是在说什么。雷明
2013,1,31,我又回复：
任何链都是有头有尾的，且从头到尾一定是连通的。“连通链”是在对轮的所有轮沿顶点占用完了四种颜色的情况下，又要给其中心顶点着上已用过的四种颜色之一时提出的。即在轮的某两个对角顶点间，能沿某一条链从一个顶点到达另一个顶点时，这条链才叫“连通链”。这条连通链与轮中心顶点V构成的是一个圈，也即一条约当曲线。而环链虽也是一个圈，也是一条约当曲线，但链中没有顶点V，所以不能叫做连通链。环链中的顶点数一定是偶数，而连通链中的顶点数一定是奇数。雷明
2013,1,31,刘福回复：
雷明，您的答复很好，我也要向您学习，把文章写得更明白些。您，眼下就用心看看关于归纳法的学习吧，有什么疑问及时提出来。我有什么就问您。
现在还没有第三人来回复。其原因恐怕就有我写的不明白的原因。我也想避免出现这种情况。不过这次我对归纳法，特意选有名的5色定理的证明，就是要与网友在一个格式比较正规的标准指导下学习写“四色猜想的数学归纳法证明”证明框架。我已经写出一部分了，没有写完。您给看看，有什么错误没有，如何改进？不要让我出现明显的错误。
最主要的是，我要说希伍德用的论据还有点欠缺，是指Kempe对4邻点4着色可约性的证明不够完善。您认为有什么毛病，欢迎不必客气及早给我指出来。
再见，谢谢。
2013,1,31,我回复：
接上一贴回复：
1、如果在轮的某两个对角顶点间没有这样一条通链，即不能从某一个顶点沿某链到达另一个顶点时，收这两个对角顶点间的链就是不连通的，或者说在该两顶点间没有连通链。这时即就是把轮中心顶点V加上，也不能构成圈或约当曲线。
2、轮图定理是针对单个轮研究得出的结论，是对单个轮从轮中心顶点开始着色时得出的，且所点用的颜色还在一步一步的趋向于4。而现在在证明猜测中所遇到的轮则是只有轮中心顶点未着色，轮沿顶点以及轮外的其它都已着了色，且已占用了四种颜色的情况下，要给轮中心顶点着色。所以这两种情况是不同的。我认为是不能用轮图色数定理来证明猜测的。
3、我们都是在互相学习，也请你对我有什么就不客气的提出来，以使我们共同进步。
2013,1,31,刘福又回复：
24楼的帖子很重要，我们的认识有了交点！
您认为轮图定理是针对单个轮研究得出的结论（虽不确切，也无妨）。是对单个轮从轮中心顶点开始着色时提出的【这种 说法----从中心顶点开始----有什么根据？您能不能用可着色定义来考虑问题。也像肯普那样--交换--但该定理的结果无法看见过程；它的过程在定理的证明中。您想，任何定理的应用，一般都用其结论。这就需要应用的人“想”-且是有根据的“想”，人的因素是第一的！首先是创造性的“想”。我提醒您用可着色的定义去想轮图定理。您与我都不要着急。
您要把问号回答给我（不要客气，可以针锋相对；有理有据就行）。有关连通链的事，我想着呢！
2013,1,31,我回复：
1、轮图色数定理是针对单个轮而言的是没人错的，你可以好好想一想。轮只是平面图中的一个小集合，代表不了平面图。那么轮图色数定理也只是什对轮这个小集合而言的，它的色数虽然也不大于4，但不能说明任何平面图的色数就一定也不大于4。
2、至于对单个轮着色是不是从中心顶点开始，这是我个人的想法。我认为只有从中心顶点开始（占了一色），再对轮沿顶点着色时，才能做到轮沿顶点最多只占用三种颜色，加上中心顶点已占用的一种，全轮最多也只用了四种颜色。但若对单个轮着色，不从中心顶点开始也何尝不可呢。先着轮沿顶点，也是最多只占用三种颜色，再把轮中心顶点着上一种颜色，全轮也只是最多用了四种颜色。
3、如果首先使轮沿顶点已占用了四种颜色，再要给中心顶点着上四种颜色之一时，就得使用坎泊的颜色交换技术了，这实质上就与证明猜测中所说的与一个顶点的相邻顶点都已着上了四种颜色之一，要空出一种颜色来给该顶点着上成了相同的一回事了。
4、我只所以说单个轮是首先从中心顶点开始着，就是根据（出自于）以上两点所说的这种区别才说的。
5、无论怎样，小集合范围内得出的结论，是不能拿来证明大集合内所有元素都有其同样结论的。所以我认为不能用轮图色数定理来证明四色猜测。
2013,2,1,刘福回复：
您说的第5条，我正在消化、理解的过程中；对我来说，很难。让您费心了。还有联通链的顶点数是奇数个。请 等一等，再回复。
轮图是针对单个轮而说的，这无可怀疑。它是小集合也千真万确。你我都明白了。您往下想想，由归纳假设N=K结论成立，去证明N=K+1结论也成立这一过程是把归纳假设作为已知条件的。咱们的问题很明确:已知是结论对着色数（4或5)是成立的，（去证明N=K+1结论是否成立)相当于问下面的轮图中v是否可4或5着色。回答这个问题，可以用肯泊的方法（当4着色时），也可以其他方法，只要有根据就行。现在有了轮图定理，就可以直接运用。这与轮图本身是单个的豪不矛盾。您说怎样使用归纳假设？有用的定理到出手时怎么看不出来！
若归纳假设是指5色说的，此时给v 着第5色（在4的基础上加1色）；若指4色说的，还用肯普的方法减少1色就可以了-----可是这时改用5阶轮图色数为3，把4空出一色来也是4可着色。这还不是问题的关键，因为这里有两种方法，都可以用。
难度在下一步d(v)=5的情况。
2013,2,1,我回复：
1、“环链中的顶点数一定是偶数，而连通链中的顶点数一定是奇数。”这句话我本想说的是“环链中的顶点数一定是偶数，而连通链加上待着色顶点也是一个环，但这个环的顶点数一定时奇数。”没有注意打成了以上的说法，是不对的。《图论的例和反例》一书中说“有一条从顶点2（b）到顶点4（g）的b—g链”，这条b—g链就是一条连通链，即从顶点1沿着这条b—g链是可以直达顶点4的，该链本身一定是偶数顶点，但加上待着色顶点V后的环（圈）的顶点数则一定是奇数。
2、关于不能用轮图色数定理证明猜测我的认识就是这样的，别的我也再讲不出什么原因了。总之适用于整体的东西一定也适用于其子集合，但适用于其子集合的东西并不一定就适合于整体。比如，陆地上的哺乳动物的共同特点是都有两只耳朵，牛和羊是陆地上哺乳动物的子集合，但不能从牛和羊有都有两只耳朵也推得陆地上的哺乳动物都有两只耳朵，更不能从牛的羊都有两只角也推得陆地上的哺乳动特也都有两只角，这样就大错特错了。道理就是这么单简。
3、我总觉得你这一时的思想很混乱，一会儿是归纳法，一会儿又是4色与5色，一会儿又是轮图色数定理，一会儿又是连通不连通链的问题等等，也不知你现在主要是想说什么。我看你还是把你的用轮图色数定理来证明猜测的文章先写好后，我们再进一步论论，那样就可以看明白你的主要思想是什么，如果有错也能看出主要错在什么地方。象现在这样的你一段我一段，一下子是不会把问题弄清楚的。要用轮图色数定理证明猜测，其中间就不要再加杂着坎泊与赫渥特的东西了，反正他们两个是没有最终证明猜测是正确还是不正确的。
4、你要以赫渥特证明所谓的“五色定理”为样子，来证明四色猜测，我是反对的。因为虽然他们两个的总起点（出发点）都是任何平面图中都总存在着一个顶点的度小于等于5，但赫渥特的假设是除了待着色顶点V外的其它n个顶点的是可5—着色的，且与V相邻的5个顶点已点用完了5 种颜色，这里只有一个顶点占用一种颜色的可能；而坎泊的假设则是除了待着色顶点V外的其它n个顶点的是可4—着色的，且与V相邻的5个顶点也已点用完了4 种颜色，但这里就必然有两个顶点是共同使用同一种颜色的。这一点是不同的。赫渥的证明中不可能存在要同时移去两个同色的问题，而坎泊的证明中这一问题必然存在，想回避都是不可能的。这是最大的不同。你能以赫渥特证明所谓的“五色定理”为榜样来证明四色猜测吗。既然“五色定理”与四色猜测是风马牛互不相干的，你既已认为赫渥特的“五色定理”是错误的，你还一定要走他的老路来证明四色定理，我不知你思想上是怎么想的。
5、其实坎泊用的就是数学归纳法，其假设就是除了待着色顶点V外的其他n个顶点是可4—着色的，只要这第n＋1个顶点——待着色顶点V能够用图中已用过的四种颜色之一来着色，就说明包括待着色顶点V在内的有n＋1个顶点的图也一定是可4—着色的，说明假设正确。则四色猜测也就是正确的。否则四色猜测就不是正确的而是错误的了。
雷  明  二○一三年二月一日于长安
2013,2,2,刘福在我的博客中留言：
雷明：您在数学中国给我回复的5条，很好；内容集中又清晰、通俗易懂。我暂时不去回复，您若还有要说的接着说吧。让该帖子多停留几天，供网友交流。刘福2-2.
2013,2,3,1 回复：
好的。我现在就把这一段交流的记录整理出来，以题为《我与刘福关于对“五色定理”的意见交流——与刘福交换意见之二》，作为我们在你的《出现5色定理产生的根源》一文后讨论记录的第二部分进行发表。
雷  明
二○一三年二月三日整理于长安