[讨论]敢峰《4CC的证明》读后

雷明85639720

敢峰《4CC的证明》读后
雷  明
（二○一二月十二月三十日）
（图发不上来，请看上面的DOC文件）
敢峰先生是一个非数学界人士，从一九七九年起研究四色问题至今三十多年，先后出书好几本，这种精心钻研的精神实在可隹，令人佩服，应该好好学习。在去年（二○一一年）敢峰先生终于将他研究四色问题的所有著作汇集成册出版，作为对他研究四色问题的一个总结。书名的全称叫《4CC和1＋1的证明 兼及关于宇宙和生命的思索》，我题目中的《4CC的证明》是对该书的简称。敢峰先生在其书中的第一篇论文是《四色定理简证》，也是他最后一篇关于四色问题的论文。这篇论文是敢峰先生对他三十多年来研究四色问题的论文的精练。现在我就主要谈一下该文读后的感觉。
1、同一个图的四种不同的拓扑形式
敢峰先生对四色问题的研究基本上是从“九点形”（即最基本的H—图型）开始，经过了他所说的二十步“四色演绎”后，使图中的顶点和边不断的增多，最后得到了一个如图1 的一个具有十七个顶点的极大图（各面都是3—边形面）。敢峰先生把它叫作“二阶图N”（相应的敢峰先生把九点形叫作“一阶图M”）。
在张彧典先生的《四色问题探秘》一书中，也是对最基本的H—图型——九点形进行了变形增点增边后，也得到了一个与敢峰先生得到的图是相同的图（如图2）。这两个图尽管形状不同，但都是相同的一个图，都是张彧典先生书中米勒构造的图——H•M—图（如图3）的另个两种拓扑形式。我在《再谈张彧典九构形的着色问题》一文中把H•M—图却画成了另一种形式，如图4。以上的四个图看上去都不相同，实质上都是同一个图，而且各对应顶点所着的颜色也是相同的。这也真是一个巧合，不同的人，从不同的角度，用了不同的方法，却得到了完全相同的图。


这四个图，都是有十七个顶点的极大图；也都有连通链a—c和a—d，两链均与待着色顶点V构成发一个圈；四个图都有环形的a—b链，但其又不通过a—c链和a—d链的交叉顶点8a；也都有环形的c—d链，也不经过与待着色顶点V相邻的顶点4d和5c；两条环形链的顶点数和边数都是大于4 的偶数；四个图还都有与a—b环链和c—d环链不相接连的a—b直链和c—d直链；还有很关键的一点是从两连通链的接点顶点1a开始，连通链a—c的第2个顶点c（C）和连通链a—d的第2个顶点d（D）是直接相邻的，这在四个图中都是相同的。
通过以上的分折，可以看出，这四个图（其实是同一个图）即具有最基本的H—图型的图和最基本的非H—图型的图的性质，但又并不完全具备，应该说是比赫渥特图更难着色的一类图形的代表，那么其就应有其更特殊的着色方法，不能用对类赫渥特图的着色方法。
2、不同人的不同着色方法
敢峰先生对他的图1的着色方法是：一是在环形的a—b链（圈）的内或外进行c—d链的交换，使图变成了非H—图型的图，再进行两次交换同时可移去两个b（B）色给V着上；其另一个着色方法是从顶点3开始交换b—c链，如图5；再在a—b环内或环外进行c—d链的交换，使图变成一个没有连通链的非H—图型的图，再通过一次交换即可空出除d外的a、b、c三色之一给V着上。
张彧典先生对他的图2和图3的着色方法是：对环形的a—b链之一侧的c—d直链进行交换，使图变成非H—图型的图，再进行两次交换同时可移去两个b（B）色给V着上。
雷明对他所画的H•M—图（图4或图3）的着色方法是：也是对环形的a—b链的任一侧的c—d链进行交换，使图变成了非H—图型的图，再进行两次交换同时可移去两个b（B）色给V着上。
但米勒对他的图的着色却没有成功，他认为该图按进行了四次“逆时针赫伍德颠倒”后，该图出现了循环情况，所以是没有办法4—着色的。也就对他企图用“逆时针赫伍德颠倒”来证明四色猜测产生了怀凝，也没有再把四色问题研究下去。
以上四人的着色情况看，敢峰先生用了两种交换方法，得到到了四种着色模式；雷明先生用了一种交换方法，得到了两种着色模式；张彧典先生用了一种交换方法，得到了一种着色模式；以上三人都对该图能够进行4—着色，也认为四色猜测是可以用人工进行证明的，是正确的；只有米勒一个人不能对他的图进行4—着色，因而对四色猜测的证明表示了怀凝。
在以上的各种对H•M—图的着色方法中，其实质的内容都是在对连通并交叉的链的连通性或叉性的破坏，简单的说就是在“断链”，即把连通的链变成不连通的过程。从坎泊的颜色交换技术上看，只有是不连通链才能通过交换后空出颜色来，所以可以把用研究着色的方法研究四色问题，转化为用研究各种连通链是否都可以通过使用坎泊的颜色交换技术而断开的问题，去研究四色问题。如果说任何可能情况下的连通链都是可以断开的，那么四色猜测也就能得到证明是正确的，否则猜测就不是正确的。
3、关链的一条边6c—7d
在上在对四个图进行分折对比时已提到：“还有很关键的一点是从两连通链的接点顶点1开始，连通链a—c的第2个顶点c（C）和连通链a—d的第2个顶点d（D）是直接相邻的。”，这一点是非常重要的。我在以前的文章中已曾的出过多次，在敢峰先生书中的文章《四色问题简证》也强调了这一点。有了这一条边，图就是H—图型的图，该两点不相邻（即无边）时，图就是非H—图型的图，图中的连通交叉链就成了次要问题了，但着色时还必须对连通的交叉链进行“断链”后，才能再通过交换后空出颜色来。
4、对猜测最好的证明方法还是不用着色的办法
从坎泊宣称证明了猜测是正确的一八七九年开始计，十一年后的一八九○赫渥特构造了赫渥特图，即H—图，没有办法用四种颜色着色；一百零二年后的一九九二年，我国的雷明高级工程师和英国的米勒等都分别用实质上是同一方法的先把H—图型的图变成半非H—图型的图（见我前一论文《再谈张彧典九构形的着色问题》中的图1及其说明），再用对半非H—图型的图着色的方法（这一着色过程张彧典先生在他的《四色问题探秘》一书中叫作“逆时针赫伍德颠倒”），已对赫渥特图都进行了4—着色；之后又有许寿椿教授、董德周高级工程师、张彧典老师等多人也对赫渥特图进行了4—着色；但在一九九二年米勒对赫渥特进行了4—着色的同时，他又构造了一个经过了四次“逆时针赫伍德颠倒”后，又可返回到原图，出现了无限循环的图（这一个图张彧典先生在他的《四色问题探秘》一书中叫作H•M—图），于是米勒对证明四色猜测的信心又有了动摇；现在，又过了八年后的二○一○年前后，敢峰先生，雷明先生，张彧典先生却都能用不同的方法对H•M—图进行4—着色。是不是以后还会不会有人又构造出什么自已不能4—着色的图来，这可完全说不定。如果就这样没完没了的“由某人构造出自已不能4—着色的图——然后对猜测及其证明提出怀凝——之后又由另外的人又该图进行4—着色——又认为猜测仍是正确的，可证明的”这样无限的循环下去，那猜测什么时候才能得到证明呢。所以，从以上的情况看，我还是主张我在二十年前（一九九二年三月八日上午）于西安空军工程学院（今西安空军工程大学）召开的陕西省数学会第七次代表大会暨学术交流会上所作“赫渥特图的4—着色”的学术论文报告后，在大会上提出的不对任何图进行着色，而只用图论的理论证明四色猜测的观点。请朋友们注意查看我以前所了表的多个论文。我用了图的色数与图的最小顶独立集数和图的最小完全同态的顶点数都相等的理论，得到了关于图的色数与图的密度的关系式，也就是任意图的色数的界。然后再把平面图的密度均不大于4的特点代入其中，就可以得到任何平面图的色数都不会大于4 的结论。这就是四色猜测。四色猜测得到证明是正确的。这种方法，把一个对于图的密度来说是一个无穷的问题，变成了一个有穷的问题了。在整个证明过程中没有对任何一个图进行着色。
雷  明
二○一二年十二月三十日于长安
明天就是二○一三年的元旦，我在元旦前把该文了表出来，也可算作一个新年献词吧。我打算在休整一段时间后，专门再去对断链方法去进行研究，看能不能再找到一条解决四色问题的新的作途径和方法。
雷  明
二○一二年十二月三十一日于长安