[讨论]与技术员的再次对话

雷明85639720

与技术员的再次对话
雷  明
（二○一二年九月二日）
网名“技术员”的朋友八月三十一日再次贴出了他的《对四色问题证明新思路——两类元素化简法》：内容如下：
“上图中红色也可以是其它颜色。
“任何图（除下图的最简结构）中都可以找到左图中两种的局部形式，条件为：红色两区域不相邻，之间间隔一个区域。
“图化简成右图（图中分别表示了面与面相邻时的两种情况：一是两面无公共边界，二是两面的公共边界只是一个点，这种情况在着色中也认为是不相邻的——雷明注），不影响整个图的染色模式结构。
“断化简，当找不出左图这两种的局部形式，就为最简结构，如下图（该图是一个K4图——雷明注）”
8,31，技术员：“迎专家雷老师关注。”
8,31,雷明：
再次说明我不是老师，我和你一样，都是一个业通的业余数学爱好者。第一，你画的图中黑色的区域你把它看不看作也是一个区域呢；第二，你认为任何图经“不断化简，当找不出左图这两种的局部形式，就为最简结构（如你画的有红、黄、兰、黑四种颜色的图）”。但你只说了“当找不出左图这两种的局部形式”，并没有回答任何图是否都能化简到“找不出左图这两种的局部形式”的，即你并没有证明任何图化简的最后对果都一定是你画的那个K4图。这是并键的地方。第三，你的“左图这两种的局部形式”也只是两种，应该说还是个别的图，不能代表任意的图，即就是你把这含有这两种情况的图化简成了K4图，也不能说明任意的图都一定也能化简成K4图。请你考虑是不是这样。雷明
8,31,技术员:
我还是要称您为雷明老师。第一，左图两个红色区域上面间隔的区域可以是除红色外任意一种颜色，即黄、兰、黑三种颜色其中一种。但我为了方便画成了黑色。)
第二，任何图只有这两种局部形式，而且化简后也只有这两种局部形式，直到最简形形式，就没有了。不信您可以举任意一个例子给我。我给您指出来
8，31，雷明：
你如果硬要持这样称我，我也只好接受了。谢谢你。你的化简方法，实际上就是我用对偶图时的同化方法，即不相邻的顶点可同化为一个顶点，可以用一种颜色。你的化简方法，是把不相邻的面（有一个共用顶点不算相邻）变成一个面。你认为这样化简，任何平面图最后都能变成K4图，我也是这样认为的，但只是认为还不行，要有证明，要证明任何平面图化简的最后结果都是K4图才行。这不是我能否找到一两个反例的问题，不能因为别人找不到反例就说明你是正确的。如果是这样，赫渥特图现在也可以4-着色了，也再没有人能找出不是4色的平面图的反例来，难道这就能说明四色猜测就是正确的吗。当然是不能的。如果猜测因为没有找到反例就是正确了的话，你我还在这里去找明方法去进行证明干什么呢。这不就说明了猜测还是没有被证明是正确还是不正确的吗。所以说，不能说别人找不出反例就说明你的观点是正确的。我认为你的方法不是不可以证明猜测的（我也认为证明猜测一定是有很多方法的），关键的问题是你只提出了观点，而进没有进行证明，是不能令人心服口服的。我可以说，如果把平面图不含有五个以上的顶点互相相邻，或平面图不含有五个以上面互相相邻这一已经经过证明是正确的结论用上去，去证明任何图（平面图）化简的最后结果都一定是一个K4图，那么你的证明才应该说是完满的。从现在看来，你的所谓证明还是不足的，是没有说服力的。雷明
9，1，技术员：
“要有证明，要证明任何平面图化简的最后结果都是K4图才行。这不是我能否找到一两个反例的问题，不能因为别人找不到反例就说明你是正确的。”
但是任何平面图都包含这两种局部形式其中一种或两种，而没有除这两种以外的第三种，经过等价的化简，最后结果都是k4图。这不是证明了“任何平面图化简的最后结果都是K4图”吗？还要证明什么？是否要证明第三种局部形式不存在才能算是证明了四色定理呢？
除k4图以外的任何图都包含这两种局部形式其中一种或两种，一次化简后区域的个数减1，不断化简，当区域个数减为4的时候就是K4图了。
9，1，雷明：
可是你并没有证明任何平面图中就只有这两种形式呀，除了这两种外是否还有第三种以上的形式你并没有证明。就是这两种形式你也没有证明他们化简的最后结果都一定是K4图，你只是用文字说了一下是不够充分的，那两种形式是如何化简成K4图你得要有一个化简的过程才行呀。这就是我说你的所谓的没有证明。另外，对于证明这样一个历史难题，你只用了一百零七个字，两个图，就想能使问题得到证明，是否有点太的简单了。我认为对于猜测的证明态度应该是：不害怕，敢于去碰，但不能轻率，要了解前人的长处和短处，但不死搬老一套，钻死胡洞，要开阔自已的思维，要创新。只有这样才能取得突破。你说是不是这个道理。
9，1，技术员：
除了这两种外是否还有第三种以上的形式我的确没有证明，但事实如此啊。可能就是这点是证明的关键。我可能只是说明了为什么用4种颜色就能区分任何图的大概原因，而不算是证明。谢谢雷老师。
9，1，雷明：
“我可能只是说明了为什么用4种颜色就能区分任何图的原因，而不算是证明。”这句话是矛盾的。前半句“我可能只是说明了为什么用4种颜色就能区分任何图的原因”应该说就应是证明，因为“说明原因”就应是证明的过程，但你没有这个“证明的过程”；后半句“而不算是证明”实际上就是对前半句话的否定，其实你也没有证明。你这句话在逻辑上就存在这一毛病。
因为任何平面图中都不存在五个以上顶点互相相邻（有人叫全相邻）的情况，即最大只有四个顶点是全相邻的情况，所以在某个K4团（四顶点全相邻）以外的任何顶点至少总会与该K4团中的一个以上的顶点是不相邻的。这样图中除了该K4团以外的任何顶点都一定是可以同化（不相邻顶点凝结在一起的过程叫同化）到该为K4哮中来的，使图最终变成一个K4图。这一点在理论上是没有问题的。再加上用图进行说明，应该说用你这种方法的证明也是行得通的。因为把同化最后得到的K4团（该团的每一个顶点都代表着图中的若干个互不相邻的顶点，这些顶点着同一颜色是附合着色要求的）的四个顶点着以四种不同的四种颜色后，再按原来同化的反方向把各顶点连同已着的颜色返回到原图原来的位置时，图中仍是四种颜色。这样四色猜测就得到证明是正确的。技术员朋友，我的这一补充不知你还有意见没有。雷明;
9，1，雷明：
朋友，我上一贴中我感到还有点问题：我只说明了含有K4团（密度为4）的平面图同化的最后结果一定是一个K4图，但平面图中还有不含K4团的图，它们的密度（最大团的顶点数就叫图的密度）都小于4，是不是也能同化成为一个密度比K4图小的团呢。我们说可以。平面图中以每个顶点为中心都构成了一个轮，轮的密度都是3，偶轮同化结果是K3团，而奇轮同化结果则是K4团，这样图中就有了K4团，再同化时最后一定也是一个K4图。还有，若平面图的密度是2时，如图中只含圈，偶圈同化的结果是K2团，奇圈同化的结果是一个K3团，图同化的最终结果也只能是一个K3图，K3图只用三种颜色，那么该图也只用三种颜色就够了。只含偶轮的图同化的结果也一定是一个K3图，也只用三种颜色就够了。对于不含圈的树，密度也是2，同化的结果只能是K2团，两种颜色也就用了。只含奇圈的图同化的结果也一定是一个K2团，两种颜色也就够用了。至于密度为1的繁星图，各顶点均不相邻，一种颜色就够用了。把这一贴与上一贴合起来，也就证明了任何平面图着色时四种颜色也一定够用了。四色猜测得证是正确的。雷明补充
9，1，技术员：“原因”改为“概原因”了。
9，1，雷明：这“大概”二字一增加，那句话就没有问题了。很好。雷明
雷  明
二○一二年九月二日整理于长安