[原创]素数分布数量的概率计算与素数定理的计算的相对误差的比较

愚工688

下面引用由刘合亮在 2008/10/08 05:28pm 发表的内容：
in :   π(x)= 9592    Sp(x)= 9716.84 p?
概率计算数值  Sp= 9686.73  个&G [
这些数据都是引用你的。怎么会不一样？ 另，你怎么来认识误差的产生？R`N):
》》推导分析式计算的结果与实际比较。哪有与理论 ...

确实有些问题。
在一楼文中的概率计算式是：Sp(x)=(x-r)*P(k)+k；
    =(x-r)*(1/2)*(2/3)*(4/5)*…*［r-1］/r]+k ;
这里的概率计算范围采用了（x-r），是考虑到（2-r）里面的k个素数已经单独另计了，这个也是观察到在较大数时的各个区间的相对误差普遍是正的情况而改过来的。
而以前是用（x-1)进行计算的，而文中的1000万的计算数据是以前计算保存的。计算需1个多小时，后来没有计算过。这次贴时没有注意到这一点。我将会修改文章中的数据以符合文中的概率计算式。
谢谢你非常仔细地阅读了我的文章，谢谢你帮我找出了存在的问题。

wangyangke

愚公移山    改造中国

白新岭

主贴对书本上的独立条件概率的介绍及相同类型问题用相同方法处理的理念，思路值得大家学习。

愚工688

[这个贴子最后由愚工688在 2009/12/27 04:50pm 第 2 次编辑]

谢谢13楼朋友的对概率计算方法的赞同。
实际上，概率计算不仅仅适合素数的分布，同样对歌德巴赫猜想也同样适用。
把偶数M分成的两个整数分别记为 A-x 与 A+x [A=M/2]，条件a（就是 A-x与A+x 都大于r）[r为小于或等于√(M-2)的最大素数, 下同。]可看成变量x符合某种由A所决定的条件的数，其在区间[0，A-3] 中的分布规律，实际上可归结为一个概率问题：除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于I2、I3及(3－I3)、…、In及(n－In)、…、Ir及(r -Ir)的数的发生概率问题，这里的I2,I3,…,In,…，Ir系A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。由于自然数列里的数在除以任意二个素数j，k时，余数同时满足等于ji、ki [ji=0,1, …，j-1；ki=0,1, …，k-1] 的概率 ，有：  P(j*k)=P(j)*P(k)=(1/j)(1/k)，每连续的j*k 个自然数中必有一个。我们称事件j与k为互相独立。由概率的独立事件性质可知,这个概念可推广到任意有限多个事件上去。（*号就是“·”的乘号，下同）
因而符合条件a的x值的分布概率P(m)符合独立事件的乘法原理：
P(m)=P(2*3*…*n*…*r)
=P(2)*P(3)*…*P(n)*…*P(r)                             {式2}
故在[0，A-3] 中偶数Ｍ分成两个符合“条件a”的素数的概率计算值Sp(m)，有：
       Sp(m)=(A-2)*P(m)
= (A-2)* P(2*3*…*n*…*r)
=(A-2)* P(2)*P(3)*…*P(n)*…*P(r)
            =(A-2)*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r)；                    {式3}
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [In=0时]；或f(n)=(n-2)/n,  [In>0时] 。In系A除以n时的余数。
实际上该计算与事实数据在偶数不算大的区间内就很接近的。看看下面附图上面的蓝，绿线的变化情况就一目了然了。
红线——偶数分成2个素数的分法数；
绿线——偶数分成2个大于r的素数的分法数；
蓝线——偶数分成2个大于r的素数的分法数的概率计算值。
原文请看：http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=202&start=0&show=425

愚工688