[讨论]与网友“一棵小草”的一段博客对话

雷明85639720

与网友“一棵小草”的
一段博客对话
雷  明
（二○一○年六月十八日）
我与一棵小草在博客上关于四色问题有一段对话，现发表在该网站上。
1、6 月10日，一棵小草留言：我学习了您的关于“顶独立集”的论述，想就已达成共识的4轮图的同化结果图3[K(3)]请教一个问题。依您的评论观点：“K（n）中的这n个顶点【分别都】代表着原图中的若干个互不相邻的顶点，可以说原图的最小顶独立数就是n。由于同一个顶独立集内的顶点均不相邻，所以可以着同一颜色。原图有n个顶独立集，着色时至少就得用n种颜色，其色数也就是n。”请注意这里的黑括号，您再看图3；至少点e不属于您说的那种点，它原地没动！怎么点e也代表互不相邻的顶点呢？(无论在原图还是图3）..这是我的一己之见。
2、6月13日，我留言回复：一棵小草：你那个图3中的顶点e，在原4—轮中正好是处在轮的轮心位置，其与其它的4个顶点均是相邻的，与它不相邻的顶点数就是0，图中没有与它不相邻的顶点，当然同化的结果就只能是它一个顶点处在一个顶独立集内了，它也是代表着若干个不相邻的顶点的，不过这里的若干个就是1个，难道若干就只能是大于等于2以上的吗，一个是不是也可以算作若干个之列呢。请你想想这个问题。雷明，2010，6，12，于长安
3、6月13日，一棵小草留言：看到了13日的留言。现在对您的文章已没有疑问了。您在留言中说的意思我也想过，只为再求证一下；达到更准确理解您的原文。多谢！
4、6月13日，一棵小草又留言：看懂了。雷明网友，近来的沟通速度太慢啦。主要责任在我缺少图论知识。现就我的理解模仿“顶独立集”的语言试表述如下：您是从“顶独立集”的视角（不相邻的顶点）去观察图的着色数；而我则用“同色变换”的实际操作去判定图的着色数。我感到，相对来说您的理论功底较深，而实际操作较少，不相信我的方法能判断具体图的着色数；而我的实践较多些，有把握地告诉您：您的同化思想是对的。您的每一次操作同样也可以判断具体图的着色数。再具体一点，您是从最小独立集（独立数为1）个数的多少出发，来考察一般图的着色数。好，完全可以；我不应该让您马上转向。我现在才感受到：“你终于走......”我们是殊途同归。我要吸收您的理论，作为...
5、6月15日，我的留言：一棵小草：看了你13日的留言，我感到你还没有把我的思想搞明白。任何图的最少数量顶独立集的分划、最小完全同态都一定是存在的，理论上是正确的，所以说任何图的最小顶独立集数、最小完全同态的顶点数也都是一定存在的。但通过同化方法，进行联边凝结，找到这两个数，却是不容易的事，即就是找到了，你也无法验证它是否是对的。所以只有研究这个数字与图的密度的关系，不进行顶点同化的操作，只要知道图的密度，再加上图的结构上的特点，就应该判断出某图的最小顶独立集数和最小完全同态的顶点数，这才是我研究的中心内容。实际上我并没有对任何图进行顶点同化的操作。请你再看看我的其他文章，如图论法证明四色猜测等。雷明，2010，6，15，于长安
6、6月15日，我又留言：一棵小草：我的个人情况请看我的博客中的前面第二篇文章。你是否也能把你个人的情况给我说一下呢，以便我们更好的沟通。雷明，2010，6，15，于长安
7、6月16日，我又留言：一棵小草：你的同色变换说到底只是一个着色的方法而已，它的实质与坎泊的颜色交换技术是一样的，都是从某个构形的一个轮沿顶点开始，对与其处于对角顶点的颜色进行交换，使该顶点空出它已用过的颜色给轮构形中心顶点着上。不能说你的方法不对，只能说你用这种同色变换原理证明猜测时，仍用的是着色方法，要知道图的种类是有无限多的，永远也是着不完的，什么时候才能证明猜测是正确还是不正确呢。如果要用你的这种方法，就必须在“任何平面图中至少存在着一个顶点的度小于等于5”的支持下才能进行，只有这样，你的证明才能在进行了有限次的情况下，就可以得出任何平面图着色时四种颜色就够用了。但这就又成了1879年坎泊的证明。但坎泊那时并没有证明5—轮构形是可以4——着色的，而给1890年赫渥特找到了他证明中的“漏洞”而否定了他的证明，但赫渥特也证明不了这个5—轮是可以4—着色的。现在你只要能用你的同色变换原理证明5—轮能够4—着色，那么四色猜测也就可以得到证明。你可以试证明一下（我在我的《Haewood—图的4—着色》和《5—轮构形的4—着色》两篇论文中已用坎泊和颜色交换技术证明了5—轮构形是可以进行4—着色的）。这里需要提醒的是，这个5—轮构形并不单是一个5—轮，而是一个只有5—轮的中心顶点未着色，该顶点以外的所有顶点（是一个未知数）均已着上了四种颜色之一，且5—轮的轮沿顶点已点用完了已用过的四种颜色。现在就是要把这个5—轮的中心顶点着上已用过的四种颜色之一。你可以用你的理论去试一试。如果你能给这个5—轮的中心顶点着上已用过的四种颜色之一，也就说明你对四色猜测的证明是正确的。否则，你的证明还不能算作彻底。雷明，2010，6，16，于长安。
8、6月16日，一棵小草又留言：我不去证明。我将用同色变换原理转化已知的定理：K(5)是非平面图（它就是四色猜想的等价命题，只是人们还没有办法看出来）！把它转换为四色猜想的等价命题---含有5色（及以上）的图是非平面图。然后写出它的逆否命题----平面图的色数=《4这就是四色猜想现在的数学描述。关于原理的对错您的体会我理解，但它是一种思想，拓扑变换思想。每个图的色数就是一个拓扑不变量。要去理解，而不是去具体画图。以前发给您的有个您看不清的图就是五轮图，请您依原理慢慢体会一下，方法是好用的。您最后说的那个5轮图，中心点外已着色超过3，肯定是多了；必须得调整，这是您已做过的工作，看过了。若不调整，中心点是不能4着色的。我不去试了，劝您也别试。
9、6月17日，我回复：我相信同一个问题一定是有好多种办法去解决的，你我各采用不同的办法，但最后都将得出猜测是正确的结论。不过你仍不能知道为什么含奇轮的图的色数是4而不含奇轮只有偶轮的图的色数是3，也不可能知道不含轮的图若含有奇圈时其色数是3，而不含奇圈时的色数却是2。雷明。
10、6月17日，一棵小草回复：在没与您交流之前，本人早已认识到您提出的问题了。您若消化了我的文章的方法，应该知道我能否回答上面的问题；明确告诉您，我能用您文中的方法回答如上之问题，也能用自己的方法回答。通过这几天的交流，我的受益甚大，知道了原来自己不知道的东西，特别悟出了您的思路。
11、6月18日，我回复：要是这样，可以说我们俩用不同的方法，得到了同样的结论。同一条河要过，你我用的船虽不同，但都渡了过去。祝你成功。雷。
12、6月18日，一棵小草回复：成功与否，要看行家能不能接受。业余爱好，自娱自乐，须度光阴。谢谢您的关照！
13、6月19日，我回复：现在数学界的“行家”们，是不去搞这些问题的，他们不但不搞，而且还在反对别人搞。他们那会有兴趣对业余爱好者的研究工作进行过目呢，只能是自已心中有数罢了。雷。
14、6月19日，一棵小草回复：您说的有理。对四色问题也是如此！这么大的问题，不易出成果；那个博导也不敢选此题。中国就是这个现状。若不谈“色”色变就不错了。

雷  明
二○一○年六月十八日于长安