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为什么π(x)和T(x)可以进行级数展开
我们知道Li(x)=∫2,x 1/lnx =(Σ2,x 1/lnx)-o(1),因为 Σ2,x 1/lnx完全可以进行 Σ1,k ckx/(lnx)^k的级数展开,所以Li(x)也完全可以进行级数展开.根据分部积分法有
Li(x)=Σ1,k ck x/(lnx)^k,其中ck=k-1!
∫2,x 1/(lnx)^2 =Σ2,k ck x/(lnx)^k,其中ck=k-1!
我们知道当x相当大时
π(x)<Li(x)和
T(x)>∫2,x 1/(lnx)^2
所以我们对它们进行级数展开时必定存在t个不变的值和s个处于变化的值.正由于这些变化的系数ck真实地反映了不同x的真实情况,并且反映了x趋于无穷的真实信息.特别是我们得到了至少有t个不变的值ck.比如π(x)中c1=1,c2=1,c3=2,c4=6,这正是Li(x)中的系数.T(x)中c2=1,因为c3还在不断的增大,当T(10^18)时c3已经达到16,而且还远不至此,所以当x趋向无穷时c3至少大于16.
随着我们计算能力的提高将有更多不变的ck诞生.所以孪生素数猜想和哥德巴赫猜想已被证明.
作者施承忠 2010.4.7
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