新椭圆曲线解答有关数学中最古老基本的方程式之一的重大悬而未决的问题

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新椭圆曲线解答有关数学中最古老基本的方程式之一的重大悬而未决的问题

来源：B 座 17 楼 2024 年 11 月 24 日 19:48 重庆

解答有关数学中最古老基本的方程式之一的重大悬而未决的问题。

椭圆曲线至少可以追溯到古希腊，是许多研究领域的核心。它们具有丰富的底层结构，数学家们利用这些结构开发了强大的技术和理论。

它们在 1994 年安德鲁·怀尔斯 (Andrew Wiles) 证明费马大定理的过程中发挥了重要作用，这在当时是数论中最重要的未解问题之一。它们在现代密码学中发挥着关键作用。

然而，数学家仍然无法回答一些关于椭圆曲线的最基本问题。例如，他们经常试图通过研究椭圆曲线上的特殊“有理点”来描述椭圆曲线的特征。

在给定的曲线上，这些点形成清晰而有意义的模式。但目前尚不清楚这些模式的多样性和复杂性是否有极限。

回答这个问题将使数学家们能够理解椭圆曲线的广阔而多样的世界，其中许多世界仍未得到探索。

因此，他们开始探索这个世界的边缘，寻找具有越来越奇怪模式的异常曲线。这是一个艰苦的过程，既需要创造力，也需要复杂的计算机程序。

现在，两位数学家 Noam Elkies 哈佛大学的研究人员和加州拉霍亚通信研究中心的 Zev Klagsbrun 发现迄今为止最复杂的有理点模式的椭圆曲线，打破了保持了 18 年的记录。

“这个障碍能否被打破是一个大问题，” Andrej Dujella 说。克罗地亚萨格勒布大学的研究人员表示：

“对于我们所有从事椭圆曲线研究和对椭圆曲线感兴趣的人而言，这是一个非常令人兴奋的结果。”

这一发现揭示了数学家们对椭圆曲线的了解程度的持续争论。

追寻理性

椭圆曲线看起来并不特别奇特。它们只是形式为 y^2 = x^3 + Ax + B 的方程，其中 A 和 B 是有理数（任何可以写成分数的数字）。当你绘制这些方程的解时，它们看起来是这样的：


马克·贝兰/ Quanta 杂志

数学家对给定椭圆曲线的有理解特别感兴趣——曲线上的点，其 x 值和 y 值都是有理数。

“这实际上是人类历史上最古老的数学问题之一，”俄亥俄州立大学的詹妮弗·帕克说。

虽然找到简单方程的合理解相对简单，但椭圆曲线是“第一类真正存在大量未解问题的方程”，布朗大学的约瑟夫·西尔弗曼说。

“这只是三次方程中的两个变量，但这已经足够复杂了。”

为了弄清椭圆曲线的有理解，数学家们经常求助于曲线的阶，这个数字衡量了有理点在曲线上的分布密度。阶为 0 的椭圆曲线只有有限个有理点。

阶为 1 的椭圆曲线有无数个有理点，但它们都以简单的模式排列，因此，如果你知道一个有理点，就可以按照众所周知的程序找到其余的有理点。





高阶椭圆曲线也有无穷多个有理点，但这些点之间的关系更为复杂。

例如，如果你知道一个 2 阶椭圆曲线的有理解，你可以使用与 1 阶椭圆曲线相同的方法找到一整族有理点。但该曲线还有第二族有理点。



椭圆曲线的阶告诉数学家，他们需要多少个“独立”点（来自不同家族的点）来定义其有理解集。阶越高，曲线上的有理点就越多。

2 阶和 3 阶曲线都有无穷多个有理解，但 3 阶曲线包含来自另一个家族的有理点，这意味着平均而言，给定的一段曲线将包含更多有理点。

众所周知，几乎所有椭圆曲线的秩都是 0 或 1。但是仍有无数个秩更高的奇数曲线 —— 而且它们极难找到。



数论没有证明，数学家想知道多少证据才足够，数学家们不确定阶数是否有上限。有一段时间，大多数专家认为理论上可以构造任意阶数的曲线。

但最近的证据表明并非如此。

由于没有证据，数学家们只能争论椭圆曲线的真正性质，这说明他们对这些方程的了解还不够深入。

更大的游戏

埃尔基斯是一位杰出的数论学家，他并没有打算打破排名记录。2000 年代中期，他研究了一种看似不相关的物体，称为 K3 曲面。为了理解它们，他把它们切成薄片，然后观察碎片。

想象一下从一个简单的表面（一个平面）开始。你可以将它切成无数条直线，并排放置。根据你切分的方式，你最终得到的线条将由不同的方程定义。

同样，还有更复杂、更弯曲的曲面，当切割时，会产生无数个椭圆曲线。自 20 世纪 50 年代以来，数学家一直在使用这些曲面来寻找更高阶的椭圆曲线。


诺姆·埃尔基斯 (Noam Elkies) 于 2006 年成为了上一位纪录的打破者。

拉德克利夫研究所

埃尔基斯意识到他的 K3 曲面足够奇特，可以让他接触到更奇特的曲线。

2006 年，他以正确的方式对一个特定的 K3 曲面进行了切片，并在切片中发现了一条椭圆曲线，他可以证明该曲线的阶至少为 28 ，打破了之前 24 的记录。

这对椭圆曲线专家来说是一个激动人心的时刻，他们相信接下来可能会出现一大批打破纪录的人。

但什么也没发生。埃尔基斯的纪录保持了近 20 年，这与数学家们自 20 世纪 70 年代以来一直保持的相对稳定的创纪录速度明显不同。

这或许是等级终究是有限的标志——猎人们开始接近他们最后的几个猎物了？还是只是任务难度的体现？

2006 年，当埃尔基斯宣布他的发现时，泽夫·克拉格斯布伦还是纽约皇后学院的一名本科生。他的一位教授曾在 20 世纪 80 年代的一场高中数学竞赛中与埃尔基斯竞争过（埃尔基斯获胜），他在办公时间向他讲述了这一破纪录的新曲线。


泽夫·克拉格斯布伦 (Zev Klagsbrun) 在皇后学院 (Queens College) 读书时第一次对寻找理性观点产生了兴趣。

克拉格斯布伦对此很感兴趣。多年后，他重新研究了这一结果，证明只要一个被广泛相信的猜想是正确的，埃尔基斯曲线的阶数就恰好是 28 。

因此，当他在 2019 年的一次会议上遇到埃尔基斯时，他看到了进一步推进这一结果的机会。尽管有点害怕——“很难跟上他的步伐，”克拉格斯布伦说——但他还是说服了埃尔基斯重新寻找新的曲线。

“我当时想，‘嘿，我可以使用一些计算能力。我愿意编写快速代码。和我一起搜索吧！告诉我你的秘密！’”克拉格斯布伦说。

他们回到了艾尔基斯的 K3 曲面。十八年前，他曾将曲面切开，得到一堆无限多的曲线。这些曲线已经相当奇特，但他只能保证它们的排名至少为 17 。

他仍然需要一个异常值来打破 24 的记录。由于他无法计算出他那堆曲线中每条曲线的排名，因此他使用了一种众所周知的计算方法来确定数百万条曲线中哪一条最有可能具有异常高的排名。

然后他逐一手工计算这些排名，直到找到排名 28 的获胜者。

Klagsbrun 现在可以提供一种更快的计算方法来筛选竞争者。Elkies 只能查看数百万条曲线，而 Klagsbrun 可以处理数十万亿条曲线。



经过更广泛的搜索，埃尔基斯的旧球道中出现了许多曲线，这些曲线表现出一些不寻常的特性，但没有一个能打破他在 2006 年创造的记录。两人决定继续前进。

四年过去了。几个月前，Elkies 和 Klagsbrun 在一次会议上再次相遇，并开始交谈。

他们开始用不同的方法切割 K3 曲面，得到了一堆新的曲线。但是切割方法有数百种，而大多数切割方法似乎都无法产生他们想要的曲线。

然后，他们偶然发现了一种切片方法，就像 Elkies 之前的方法一样，这种方法可以得到一堆曲线，所有曲线的阶数至少为 17 。

与其他方法相比，这种方法似乎更有可能包含隐藏的宝石。

果然，使用 Klagsbrun 更强大的计算技术，他们在这堆曲线中发现了一个阶数至少为 29 的椭圆曲线。

这条椭圆曲线具有有史以来最复杂的有理解集：数学家需要至少 29 个独立点来表征它们。

曲线方程写成 y^2 = x^3 + Ax + B 时，A 和 B 的值都超过 60 位。

Elkies 和 Klagsbrun 确定的 29 个独立有理数解涉及的数字同样巨大。

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这一结果并没有解决关于椭圆曲线的秩是否有上限的争论。

“既然我们已经找到了这条秩较高的曲线，也许有理由抱有希望”，认为存在具有任意高秩的曲线，Klagsbrun 说。

“另一方面，小伙子，找到这条曲线花了很多功夫。”很明显，需要新的想法来找到秩较高的例子。

但他和埃尔基斯付出的努力如果足够深入，可能会扭转局面。他们需要找到一个无限的曲线堆，保证其阶数至少为 22（而不是 17，这是他们目前能做到的最好结果）。

这样一个堆的存在将与数学家们对阶数有限上限的最有力证据相矛盾。无论如何，29 阶曲线的发现拓展了这个未知领域的边界。

就像生物学家试图通过研究生活在最极端环境中的生物来理解生命一样，数学家通过绘制椭圆曲线世界的极端边界也将大有裨益。

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