基本不等式的“再认识”

luyuanhong

基本不等式的“再认识”

原创 尘蒙石 尘蒙石 2024 年 10 月 10 日 15:53 福建

数学是思维的科学，数学的教学活动就是数学的思维活动。数学教学一定要引导学生领悟数学教育的本质，而要如此，唯有思维！让学生真正从内心喜欢思考、学会思考、让学生的思维具有逻辑性才是我们数学教师的价值所在，才是数学教育的本质！

南京大学哲学系教授，博士生导师郑毓信老师认为，数学思维教学应当区分为两个不同的阶段：（1）帮助学生了解、学习数学思维从而改进思维；（2）“由数学地思维”转向“学会思维”，努力提升学生的思维品质。而“总结反思与再认识”也就是“悟”可以被看成我们如何能够帮助学生达到更大认识深度的主要途径。“悟”的主要方向是，通过认真的思考，特别是“再认识”，包括一般所谓的“总结”和“反思”，获得更深入的认识。为此，我们应将“让学生悟”这一思想贯穿、落实于全部的教学工作， 而不只是局限于教学工作的某一阶段。

高一上学期预备知识中，部分学生觉得基本不等式是个难点，灵活多变，不容易想到解决的思路。因此，进行“再认识”或“悟”基本不等式是很有必要的。



一、基本不等式本质的“再认识”

基本不等式是一个联系的整体，是函数、方程、不等式知识的贯通融合，其“基本性”表现在背景的广泛性、变式的多样性、应用的基础性和延伸拓展的多维性，因此课本上称其为“基本不等式”。基本不等式是求一种特定类型函数最值的一种常用的、重要的工具，一些教学辅导书上称其为“重要不等式”。在基本不等式两边都是变量的状态下，当和或积中的一个为定值时，另一个在变化中达到最值。

利用基本不等式只能求出最大值或最小值，因此涉及到求最大值和最小值或代数式的值范围时，往往需要转化为函数或方程问题进行求解。

二、课程标准对基本不等式的要求



当然，在课程标准要求的基础上对基本不等式适当拓展对于转化与化归思想及推理能力的培养有很大好处！

三、推导基本不等式及其变形




当然，用作差法也可以比较这些平均数的大小关系。

四、无字（几何图形）证明基本不等式





五、应用基本不等式求最值（证明不等式）

由于基本不等式是求一种特定类型函数最值的一种常用的、重要的工具，因此求最值（或范围）时，函数的思想还是主导地位。如同乘法公式的作用，基本不等式只是快速求解符合某些特征的代数式（函数）最值手段之一。我们已学过的函数是一元（一个自变量）函数，因此一元函数或可以转化为一元函数才是最终的归宿。

类型 1【应用基本不等式求一元函数的最值（范围）】

例 1. 已知 0＜x＜3 ，求代数式 2x(3-x) 的最大值。

分析：

视角 1 —— 代数式 2x(3-x) 的值实际上就是二次函数 y=2x(3-x) 的函数值；

视角 2 —— 3-x 与 x 和为定值 3 ，因此可以直接用基本不等式。



分析：

视角 1 —— 研究函数的单调性，利用单调性求函数最小值；

视角 2 —— 考虑到分母中含因式 (x-4) ，构造整式 2(x-4) ，达成积为定值，可以用基本不等式求最小值；

视角 3 —— 去分母，整理成关于 x 的二次式方程，该方程在 (4,+∞) 有解，转化为二次函数图象在 (4,+∞) 有零点，建立相应的不等式组。



以上 3 种方法均适用于分子或分母中是二次的分式函数。

类型 2【应用基本不等式求二元函数的最值（范围）】

例 3. 设 x,y＞0 ，2x+y=3xy ，求 x+y 的最小值。

分析：

视角 1 —— 2x+y=3xy 是方程，可以消元从而转化为一元代数式（或函数），按例 2 的方法来解决；





分析：

已知条件是二元二次方程，不容易消元，用基本不等式可以求出某些代数式的最大值或最小值，转化为方程或函数问题可求最大值和最小值。








我们不仅应给学生提供更大的空间，让他们自己去发现、理解，而且也应善于等待，善于引导他们切实地做好“再认识”。又由于现实中我们经常会面对这样一个现象，即认识过程中的“次第花开”，也就是存在一定的时间差和路径差，因此数学教学就应努力实现这样一个目标，即我们如何能够很好地做到让不同学生都能通过自己的努力，并按照自己的节奏和路径不断取得新的进步，包括努力提升自身在这一方面的自觉性！

尘蒙石