角平分线与构造全等三角形

luyuanhong

角平分线与构造全等三角形

原创 太阳元素 太阳元素 2024 年 10 月 09 日 20:29 广东

角平分线的性质是平面几何日常考点，一般应用是比例线段，也可构造全等三角形解题。

题：

在 ΔABC 中，∠ABC = 60°，∠BAC 的平分线为 AD ，∠ACB 的平分线为 CE 。

求证：AC = AE + CD 。

原图：



解题图：



证：

过 D 作 DF⊥CE 交 AC 于 F ，设 AD 、CE 交于 O 。

CE 平分 ∠ACB ，即 CE 垂直平分 DF ，CF = CD ，∠COF = ∠DOC 。

∠AOE = ∠OAC + ∠OCA = ∠BAC/2 + ∠ACB/2 ＝ (180° - ∠ABC)/2 = 60° 。

∠COF = ∠DOC = ∠AOE = 60°。

∠AOF = 180° - ∠AOE - ∠COF = 180° - 60° - 60° = 60° = ∠AOE 。

AD 平分 ∠CAB ，即 ∠OAE = ∠OAF ，故

ΔAOE ≌ ΔAOF ，AE = AF ，AC = AF + FC = AE + CD 。

PS：这道题不难，但不是考角平分线的线段比例性质，而是证明这个性质所用的方法——构造全等三角形，偏离了一般应用习惯，也算是拓宽了思路。

太阳元素

王守恩

\(记∠A=60+2a,∠C=60-2a,AC=\sin(60)\)

\(AE=\frac{\sin(60)\sin(30-a)}{\cos(a)},CD=\frac{\sin(60)\sin(30+a)}{\cos(a)}\)

\(AE+CD=\frac{\sin(60)\sin(30-a)}{\cos(a)}+\frac{\sin(60)\sin(30+a)}{\cos(a)}=\sin(60)\)