证明 n≥3 阶行列式｜a1+b1,a1+b2,…,a1+bn；a2+b1,…,a2+bn；…；an+b1,…,an+bn｜=0

天山草

当 \(n=1 和 n=2\) 时结果是显然的，不必证明了。只须证明 \(n≥3\) 时行列等于零即可。

luyuanhong

天山草

上面这个证明非常简洁。最后一步还可以省略，因为前一步的行列式中，第一列与第二列相同，所以该行列式等于零。更进一步，不用提出公因式\(b_{1}-b_{2}\) 和 \(b_{2}-b_{3}\)也行，由证明的第二步可知，第一列与第二列成比例，所以行列式为零。

天山草

我的证明方法是：
原 n 阶行列式可拆成 \(2^n\) 个小行列式，现在证明，任取其中一个小行列式，其值都是零。
因为该行列式总能选出其中的两列，这两列要么都是 \(a_1，a_2，…，a_n\) ——此时行列式为零。要么这两列是\( b_k，b_k，…，b_k\) 和\( b_j，b_j，…，b_j\)。其中\( k≠j\)。由于这两列成比例，都等于 \(b_k/b_j\)，因此行列式为零。
综上知，任何一个拆出的小行列式都是零。所以它们的和也是零。

太阳

整数\(a＞1\)，\(c＞1\)，\(m＞1\)，方程\(a^2-a+1-c^m=0\)，没有正整数解
天山草网友，此命题是否正确？

太阳

找到1个反例，a^2-a+1=7^3，a＝19
不知是否找到其它反例？