两盒中有四色65颗球，任何五颗同色球中至少有两颗同大，证有一盒中至少有三球同色同大

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两盒中有四色65颗球，任何五颗同色球中至少有两颗同大，证有一盒中至少有三球同色同大

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题  两个盒子中共有 65 颗球，球的颜色有白、黑、红、黄四种。在取出的任何五颗同色球中，至少

有两颗球尺寸相同。证明：必有一个盒子，其中至少有三颗球具有同样的颜色和尺寸。

证  先证明一个结论：任何一种颜色的球，其不同的尺寸最多只有四种。

    用反证法。假设有一种颜色的球，其不同的尺寸有五种或五种以上。这时可取出五颗不同尺寸的

这种颜色的球，与已知“在取出的任何五颗同色球中，至少有两颗球尺寸相同”发生矛盾。所以假设

不成立。可见，任何一种颜色的球，其不同的尺寸最多只有四种。

    因为两个盒子中共有 65 颗球，65 的一半是 32.5 ，所以必有一个盒子中的球数超过 32 颗，即

这个盒子中至少有 33 颗球。

   下面证明：这 33 颗球中，必有一种颜色的球，这种颜色的球数至少有 9 颗。

   用反证法。假设四种颜色的球数都少于 9 颗，即每种颜色最多有 8 颗。这样四种颜色球的总数，最多

有 4 × 8 = 32 颗，与球的总数为 33 颗发生矛盾。所以假设不成立。可见，33 颗球中，必有一种颜色

的球，这种颜色的球数至少有 9 颗。

    下面证明：在这 9 颗同色球的尺寸中，必有一种尺寸，这种尺寸的球数至少有 3 颗。
   
    用反证法。前面已经征得，同色球不同的尺寸最多只有四种。假设四种尺寸的球数都少于 3 颗，即每种

尺寸的球最多有 2 颗。这样四种尺寸球的总数，最多有 4 × 2 = 8 颗 ，与这种同色球的总数为 9 颗发生

矛盾。所以假设不成立。可见，这 9 颗同色球中，必有一种尺寸，这种尺寸的球数至少有 3 颗。

    这样，我们就证明了：必有一个盒子，其中至少有三颗球具有同样的颜色和尺寸。