他坚信这 6 页纸能为他敲开欧洲最伟大的那些数学家的大门

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他坚信这 6 页纸能为他敲开欧洲最伟大的那些数学家的大门

作者：约翰·德比希尔 图灵新知 2024 年 07 月 19 日 19:01 北京


从 1820 年开始，阿贝尔就着手研究一般五次方程，并且已经证明了不可解定理。1824 年，他自己出钱印刷发表了这个证明。为了节省开支，他把这个证明压缩到只有 6 页纸，因此牺牲了证明过程中的连贯性。尽管如此，他坚信这 6 页纸能为他敲开欧洲最伟大的那些数学家的大门。

阿贝尔是 19 世纪挪威三大代数学家中的第一位。阿贝尔出生在欧洲北部海风肆虐的边缘地带，靠近挪威斯塔万格，位于挪威版图的“鼻子”上。当年，这个地方本身就很贫穷，时局不稳让这里更加贫穷、不幸。阿贝尔出身于一个有教养的贫穷家庭，他的父亲和祖父都是当地的牧师。阿贝尔的父亲在政治上遭遇不幸，开始酗酒，最后“因酗酒而亡，留下九个孩子和一个寡妇。阿贝尔的母亲也为了寻求安慰而酗酒”。

阿贝尔死于他 27 岁生日的几周之前。在他短暂的余生中，过得最好的日子也捉襟见肘，最差的日子更是债台高筑。他的祖国的情况也与他的人生类似。在阿贝尔十几岁的时候，挪威是一个半独立国家，是瑞典和挪威联合王国的一部分，首都是奥斯陆，当时叫克里斯蒂安尼亚（Christiania），有自己的议会，但挪威处于相对富裕、人口更多的瑞典的经济和军事的阴影之下。在这种情况下，挪威政府仍然在 1825 年到 1827 年筹集足够的资金送这位不知名的年轻数学家去德国和法国，这件事非常值得赞扬，不过赞助资金比较匮乏，而且支出还受到监督，这些引起了为阿贝尔写传记的作者的不满，甚至后来的挪威政府也为此感到内疚。

阿贝尔很早就接触到了数学，非常幸运地得到了老师伯恩特·霍尔姆伯（1795—1850）的指导，霍尔姆伯非常欣赏他的才华。尽管霍尔姆伯自己不是富有创造力的数学家，但是他熟悉当时数学界的主流文献。在霍尔姆伯的鼓励和经济帮助下，阿贝尔于1821 年到 1822 年在新成立的克里斯蒂安尼亚大学求学。

从 1820 年开始，阿贝尔就着手研究一般五次方程，并且已经证明了不可解定理。1824 年，他自己出钱印刷发表了这个证明。为了节省开支，他把这个证明压缩到只有 6 页纸，因此牺牲了证明过程中的连贯性。尽管如此，他坚信这 6 页纸能为他敲开欧洲最伟大的那些数学家的大门。

当然，事情并不像他想象的那样。阿贝尔在准备拜访高斯之前，给高斯送上了一份自己的证明，但是伟大的高斯看都没看就把证明扔到一边。这件事倒没有听起来那么差劲，因为高斯当时已经很有声望了，就像今天一样，著名的数学家经常遭受一些声称自己证明了某某著名问题的怪人的骚扰。在其声望鼎盛时期，高斯是一个不能容忍被愚弄的人，而且他似乎对寻找多项式方程代数解的问题没什么兴趣。所以阿贝尔放弃了拜访高斯的计划。

阿贝尔在柏林交了好运，这弥补了他的失望。他遇见了奥古斯特·克雷尔（1780—1855），一位数学史上独一无二的人物。克雷尔不是一位数学家，而是一位数学经纪人。他善于发现数学天才和优秀英才，当他发现人才时，他会尽其所能去培养他们。克雷尔出身卑微，全靠自力更生，基本上自学成才。他在普鲁士政府里找到一份土木工程师的工作，而且升到了这个职位的最高级别。1838年，他在一定程度上负责了从柏林到波茨坦的德国第一条铁路的施工。克雷尔善于交际、慷慨大方、精力充沛，他充当了伟大数学天才的“助产师”，间接对 19 世纪的数学做出了巨大的贡献。

就在 1825 年阿贝尔来到柏林时，克雷尔下定决心要创办自己的数学期刊。克雷尔发现了这位年轻的挪威数学天才（显然，他们用法语交流），把他介绍给柏林的每一个人，在他刚创办的《纯粹数学与应用数学杂志》第一期发表了阿贝尔的不可解定理的证明。他还发表了阿贝尔的更多论文。五次方程不可解的证明仅仅是阿贝尔的广泛的数学兴趣中的一个方面，他主要研究的是分析学中的函数论。

1827 年春天，身无分文的阿贝尔回到了克里斯蒂安尼亚，从此再也没有离开挪威。1829 年，他因肺结核去世，肺结核是那个时代的不治之症。阿贝尔去世两天后，克雷尔写信告诉他，德国柏林大学已聘请他为教授，当然那时克雷尔还不知道阿贝尔已经离世了。

阿贝尔的证明结合了他从欧拉、拉格朗日、鲁菲尼和柯西等人那里学到的想法，并用其独创的方法和见解将这些想法结合在一起。他用的是反证法：从假设欲证的结论不成立开始，然后论证这将导致逻辑矛盾。

阿贝尔想要证明的是一般五次方程没有代数解，因此，他首先假设存在一个代数解。他将一般五次方程写成



他接下来说，现在假设存在一个代数解，所有这样的解 y 都可以用 a、b、c、d 和 e 的表达式来表示，而这些表达式只包含有限次加、减、乘、除和开方运算。当然，这些开方可以“嵌套”，就像在一般三次方程的解中，立方根之下还有平方根一样。所以，我们用某个一般而有效的方式表示这些解，其中可以出现开方的嵌套，即开方里可以出现开方。

阿贝尔给出通解的一个表达式，借用拉格朗日的做法，他断言这个通解一定能表示为所有解和五次单位根的多项式。然后，阿贝尔利用柯西的结果：对一个包含 5 个未知量的多项式，当你置换这些未知量时，它有 2 个不同的取值，或者 5 个不同的取值，但不会出现 3 个或者 4 个不同的取值。把这个结果应用到他的通解表达式中，阿贝尔得到了矛盾。

阿贝尔的关于一般五次方程没有代数解的证明（更严格地说，是阿贝尔–鲁菲尼的证明）结束了代数学历史上第一个伟大的时代。

在结束对这个时代的介绍前，我将对这件事发表一些事后看法。在 1826 年，人们对阿贝尔的结果置若罔闻。事实上，阿贝尔的证明经历了很长时间才广为人知。1835 年，在这篇论文发表 9 年后，在都柏林举行的英国科学促进会的会议上，数学家杰拉德（1804—1863）递交了一篇论文，在这篇论文中，他声称自己找到了一般五次方程的代数解。20 年后，杰拉德仍然坚持自己的说法。

阿贝尔的证明也没有终结一元多项式方程的一般理论。尽管一般五次方程没有代数解，但我们知道特殊的五次方程有根式解。

但是，在 19 世纪的前几十年里，人们对代数学的认识发生了巨大而缓慢的转变。在阿贝尔印刷发表他的 6 页证明很久之前，这样的转变就已经开始了。我把这种新的思维方式定义为“新数学对象的发现”。整个 18 世纪到 19 世纪初期，代数还仅仅被认为是牛顿著作的标题所称的“普遍算术”，是利用符号对数进行运算的算术。

在那些年里，欧洲数学家们一直在吸收 17 世纪的大师们留给他们的美妙的新字母符号体系。渐渐地，符号对数的世界的依恋越来越弱了，符号可以自由漂泊，开始了自己的生活。就像两个数加起来得到一个新数那样，难道就没有别的事物可以合在一起，使得两个这样的事物结合在一起得到另一个相同类型的事物吗？当然有。

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作者：[美] 约翰·德比希尔

译者：张浩

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