第一位试图把逻辑和数学这两门学科结合成一门“普适数学”的人,就是杰出的德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646—1716),他同时也是著名的理性主义哲学家。
传统观念认为,逻辑处理的是概念与命题之间的关系问题,以及从这些关系中提炼出正确推论的过程。举一个简单的例子,有这样一个推论:每个 X 都是 Y,一些 Z 是 X,因此一些 Z 是 Y。此时,只要前提是正确的,这一推理就自动地成立,并确保结论真实。例如,“每个传记作者都是作家,有些政治家是传记作者,因此,有些政治家是作家”,这一推理过程得出的结论就是正确的。然而,“每个 X 都是 Y ,一些 Z 是 Y,因此有些 Z 是 X ”,这一推论却不一定正确,我们可以举出一些反例。这些反例的前提是正确的,但结论却是错误的。比如,“所有人都是哺乳动物,一些有角的动物是哺乳动物,因此,一些有角的动物是人”,这个推论得出的结论就很荒谬。
只要遵循一些规律,论证的正确性就与陈述的主题无关。例如:
这位百万富翁要么是被他的男管家谋杀了,要么是被他的女儿谋杀了;
他的女儿没有杀他;
因此,他的男管家谋杀了他。
上述例子得出了一个正确的推论。这一论证合理与否与我们对男管家的态度无关,也与百万富翁和他女儿的关系无关。在这里,这个推论的正确性是由命题的一般形式“如果不是 p 就是 q ,既然不是 q ,那么一定是 p”的逻辑正确性来保证的。
你也许注意到了,在前面两个例子中,X 、Y 和 Z 所扮演的角色与数学公式中的变量非常相似,它们标明了插入语句的位置,而在代数式中,变量的值就是以同样的方式插入其中的。同样,推论的一般形式“如果不是 p 就是 q ,既然不是 q ,那么一定是 p”的真实性使人联想起欧几里得几何学中不证自明的公理。尽管如此,关于逻辑的思考持续了近两千年之后,数学家们才开始认真关注这种推理。
第一位试图把逻辑和数学这两门学科结合成一门“普适数学”的人,就是杰出的德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646—1716),他同时也是著名的理性主义哲学家。莱布尼茨最初学习的是法律,他利用自己的业余时间研究数学、物理和哲学。他一生中最为人们所称道的功绩是,他几乎与牛顿同时独立、系统地阐述了微积分的基础理论。随后,究竟是谁第一个发现了微积分,还引发了一系列激烈的争吵。在一篇据说是莱布尼茨在 16 岁时就已经开始构思的文章里,他设想了一种通用的推理语言,即万能算学(characteristica universalis)。莱布尼茨将之视为一种终极的思考工具,他想用符号代表简单的概念和观点,再用这些基本符号的组合代表更复杂的思想。莱布尼茨希望仅通过代数运算,就能在任何学科中都计算出任何陈述的真实性。他预言,利用适当的逻辑演算,哲学中的争论将可以通过计算解决。遗憾的是,莱布尼茨在他所开创的逻辑代数这条路上并没有走出很远。除了“思考符号”这条原则外,莱布尼茨还有两个主要贡献,一个是明确提出什么时候应当把两件事平等对待;另一个是指出同一种陈述不可能既是正确的,又是错误的——在某种程度上,这似乎是显而易见的。莱布尼茨的这些思想尽管充满智慧,但它们几乎完全被忽视了。
在 19 世纪中叶,对逻辑的研究又重新活跃了起来,似乎在一夜之间涌现出了众多关于逻辑的重要著作。最早的著作来自奥古斯都·德摩根(Augustus De Morgan,1806—1871),随后有乔治·布尔(George Boole,1815—1864)、戈特洛布·弗雷格(Gottlob Frege,1848—1925)和朱塞佩·皮亚诺(Giuseppe Peano,1858—1932)等人的大作。
在这些人当中,不能不重点提一下德摩根。他是一位成果颇丰的数学家,其著述多得让人难以置信。他一生共发表了数千篇文章,还出版了不少专题著作,主题涵盖了数学、数学史和哲学的诸多方面。在他那些不同寻常的作品中,讲述了近一千年来满月的历书,还有各种各样稀奇古怪的数学问题。曾经有个人询问他的年龄,德摩根回答说:“到 x^2 年,我就 x 岁。”你可以仔细考虑在 1806 和 1871(德摩根出生和去世的年份)之间的所有数,并找出他说的那个平方数,结论将会是 43 。德摩根最富创意的贡献可能还是他在逻辑学领域中的研究。他极大地拓展了亚里士多德三段论的范畴,同时详细分析了用代数方式进行推理的过程。本质上讲,德摩根是一位代数学家,这使他更侧重于以代数方法研究逻辑,但尤为可贵的是,他又能用逻辑学家的眼光来分析代数。在他的一篇文章中,德摩根描写了从不同视角分析问题时带来的全新认识:“我们必须为代数寻找最习惯的逻辑用法……代数学家一直生活在三段论构成的更高层的环境之中,生活在各种关系永不停息的组合之中,而以前,人们并不承认存在这种环境。”
德摩根在逻辑学上最重要的成就之一是“谓词的量化”。其实,这个名字有点夸张了,它指的是古典时期逻辑学家的一个令人吃惊的疏忽。亚里士多德学派已经正确认识到了,从诸如“一些 Z 是 X ”和“一些 Z 是 Y ”这类前提出发,X 和 Y 的关系并不是绝对的。举例来说,就“一些人吃面包”和“一些人吃苹果”这两个前提来说,关于“吃面包”和“吃苹果”这两类人之间的关系,得不出任何必然的结论。然而直到 19 世纪,逻辑学家还认为,不论这些 X 和 Y 之间必然遵从怎样的关系,中项(如上所述的 Z )一定在一个前提中是“普适”的,也就是说,这一段一定包括“所有 Z ”。德摩根则证明了,这种观点是错误的。在他 1847 年出版的《形式逻辑》一书中,德摩根指出,诸如“大多数 Z 是 X ”和“大多数 Z 是 Y ”这类前提,必然遵循“一些 X 是 Y ”。例如,从“大多数人吃面包”和“大多数人吃苹果”这两个前提中,必然得出“一些人既吃面包又吃苹果”。实际上,德摩根走得更远,他甚至用精确的量化形式来表达他提出 Z 的三段论。想象一下,Z 的总数是 z ,同样也是 X 的 Z 的数量是 x ,同样也是 Y 的 Z 的数量是 y 。在上面的例子中,如果总人数是 100(z = 100),其中有 57 人吃面包(x = 57),且有 69 人吃苹果(y = 69)。这时,德摩根注意到,一定至少有(x + y - z)的 X 同样也是 Y ,也就是说,至少有 26 人(57 + 69 - 100 = 26)既吃苹果也吃面包。