求 (xyz+1)/(x+1)=(yzw+1)/(y+1)=(zwx+1)/(z+1)=(wxy+1)/(w+1)，x+y+z+w=48 的正数解

波斯猫猫

题：求 (xyz+1)/(x+1)=(yzw+1)/(y+1)=(zwx+1)/(z+1)=(wxy+1)/(w+1)，x+y+z+w=48 的正数解.

思路：解方程组居然要用到均值定理，感觉有点奇葩. 耐着性子把各方程化为(x，y，z，w∈R+)，

xy^2z+xyz+y=xyzw+yzw+x ，             yz^2w+yzw+z=xyzw+zwx+y，

zw^2x+zwx+w=xyzw+wxy+z，           wx^2y+wxy+x=xyzw+xyz+w，

相加得，xy^2z+ yz^2w+zw^2x+ wx^2y=4xyzw.

因xy^2z+ yz^2w+zw^2x+ wx^2y≥4（xy^2z. yz^2w.zw^2x.wx^2y)^(1/4)=4xyzw，

故，必有xy^2z=yz^2w=zw^2x=wx^2y，或xy=zw，yz=wx，或x=z，y=w.

若z=y，即x=y=z=w，则x=y=z=w=12.

若z≠y，则由(xyz+1)/(x+1)=(yzw+1)/(y+1)，有(x^2y+1)/(x+1)=(xy^2+1)/(y+1)，

或xy=1，且x+y=24.解得x=12±√143，y=12±√143(x≠y).

故满足条件所有解为x=y=z=w=12，或x=z=12+√143，y=w=12-√143，

或x=z=12-√143，y=w=12+√143.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

波斯猫猫

希望看到不用圴值定理等号成立的条件找到突破口。