\(\Large\color{red}{实数集可数定理和证明}\)

APB先生

      \(\left( 0{,}\ 1\right)\supset\left\{ 0.1{,}\ 0.2{,}\ \cdots{,}\ 0.9\right\}\ \ \) 可数；
      \(\left( 0{,}\ 1\right)\supset\left\{ 0.01{,}\ 0.02{,}\ \cdots{,}\ 0.99\right\}\ \ \) 可数；
      …………
      \(\left( 0{,}\ 1\right)\supset\left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.\dot{0}2{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}9\right\}\ \ \) 可数；\[1=0.\dot{0}1+0.\dot{9}9{,}\ \ \ \ \ \ \left\{ \dot{0}=000\cdots\right\}\ \sim\ \left\{ \dot{9}=999\cdots\right\}\] \(0.\dot{0}1\ \) 叫做：无穷小小数 ；\(0.\dot{9}9\) 叫做：无穷大小数。

APB先生

      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 1\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.1{,}\ 0.2{,}\ \cdots{,}\ 0.9\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.01{,}\ 0.02{,}\ \cdots{,}\ 0.99\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      ……………………
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.\dot{0}2{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}9\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      因此 \(\left[ 0{,}1\right]\ 是\) 可数集。
\[0.\dot{0}1\ \prec\ 0.\dot{9}9\]
      

APB先生

      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 1\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.1{,}\ 0.2{,}\ \cdots{,}\ 0.9\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.01{,}\ 0.02{,}\ \cdots{,}\ 0.99\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      ……………………
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.\dot{0}2{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}9\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      因此 \(\left[ 0{,}1\right]\ 是\) 可数集。
\[0.\dot{0}1\ \prec\ 0.\dot{9}9\]
      

APB先生

      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 1\right\}\ \ \) 是可数集 ！可与 1 对等 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.1{,}\ 0.2{,}\ \cdots{,}\ 0.9\right\}\ \ \) 是可数集 ！可与 \(1{,}\ 2{,}\ \cdots\) 对等 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.01{,}\ 0.02{,}\ \cdots{,}\ 0.99\right\}\ \ \) 是可数集 ！可与 \(1{,}\ 2{,}\ \cdots\) 对等 ！
      ……………………
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.\dot{0}2{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}9\right\}\ \ \) 是可数集 ！可与 \(1{,}\ 2{,}\ \cdots\) 对等 ！
      因此 \(\left[ 0{,}1\right]\ 是\) 可数集：\[\left| \left[ 0{,}\ 1\right]\right|\ \sim\ \left| N\right|\]