用 n 个 1 与 n 个 2 组成的 2n 位数共有多少个？

王守恩

a(1)=2——用1个1与1个2组成的2位数有2个。
12,
21,
a(2)=6——用2个1与2个2组成的4位数有6个。
1122,
1212,
1221,
2112,
2121,
2211,
a(3)=20——用3个1与3个2组成的6位数有20个。
111222,
112122,
112212,
112221,
121122,
121212,
121221,
122112,
122121,
122211,
a(4)=70——用4个1与4个2组成的8位数有70个。
11112222,
11121222,
11122122,
11122212,
11122221,
11211222,
11212122,
11212212,
11212221,
11221122,
11221212,
11221221,
11222112,
11222121,
11222211,
12111222,
12112122,
12112212,
12112221,
12121122,
12121212,
12121221,
12122112,
12122121,
12122211,
12211122,
12211212,
12211221,
12212112,
12212121,
12212211,
12221112,
12221121,
12221211,
12222111,
a(5)——用5个1与5个2组成的10位数有？个。
a(6)——用6个1与6个2组成的12位数有？个。
a(7)——用7个1与7个2组成的14位数有？个。
a(8)——用8个1与8个2组成的16位数有？个。
a(9)——用9个1与9个2组成的18位数有？个。

luyuanhong

题  用 n 个 1 与 n 个 2 组成的 2n 位数共有多少个？

解  在 2n 位数的 2n 个数位中，选 n 个数位放 1 ，其余数位放 2 ，不同的选法种数为

                   C(2n,n) = (2n)!／(n!×n!) 。

    所以，用 n 个 1 与 n 个 2 组成的 2n 位数，共有 C(2n,n) 个。


当 n = 1 时，C(2,1) = 2 。

当 n = 2 时，C(4,2) = 6 。

当 n = 3 时，C(6,3) = 20 。

当 n = 4 时，C(8,4) = 70 。

当 n = 5 时，C(10,5) = 252 。

当 n = 6 时，C(12,6) = 924 。

当 n = 7 时，C(14,7) = 3432 。

当 n = 8 时，C(16,8) = 12870 。

当 n = 9 时，C(18,9) = 48620 。

……

当 n = 1012 时，C(2024,1012) = 34157996383032811899231853655230669627214575021201656640985590632217311466360598411778255340510250089781857819194999535596364340860180441272634489373964945450468315549010698342454431694403904801782593051494296092651823293734684734560462862644753709357904527040757282792049449344265235304958130664524725355880518666486824245516941682600220128112475322841986751438762932928142862343518616089043581115367300929404590139889050866029729598472686783606390983421016880520493006372545865577622469461293860789337134297648244276169723238376800323858581724187513570229084423781862897942865672292828388252442394215150720 。

时空伴随者

相当于在边长为n的n×n个正方形网格中，从左上角走到右下角的组合数，比如向右为1，向下为2。

时空伴随者

同理m个1和n个2组成的m+n位数的总数是C(m+n,n)