数学悬案：abc 猜想

luyuanhong

数学悬案：abc 猜想

原创 大老李聊数学 大老李聊数学 2024 年 06 月 24 日 09:56 加拿大

今天来聊一个长久以来我一直想跟大家聊聊的话题，abc 猜想。之前是因为觉得 abc 猜想不是那么简单易懂的猜想，所以迟迟没有动笔。而就在不久前的 3 月 15 号，亚利桑那大学的数学系教授基尔提·乔希（Kirti Joshi），在预印本论文网站 arXiv 上发表了一篇论文，声称其使用了与望月新一同样的工具，修复了望月新一之前证明的“漏洞”，从而比较简洁地证明了 abc 猜想。

当然，这里的“简洁”只是相对的，乔西这篇论文仍然有 150 多页，而且是他最近两年时间里，对这个问题发表的系列论文的第 5 篇。但不管怎样，他的论文使得关于 abc 猜想的话题又起了些波澜，所以这次来跟大家聊一聊。


(上图：基尔提·乔希在预印本网站上提交的证明 abc 猜想的论文。)

首先，先介绍一下 abc 猜想的内容。首先 abc 猜想是数论中的一个命题，所以它是关于自然数。简单来说，它是要表达：

如果三个自然数，它们的共同质因子比较多，则它们中的一个不太可能是另两个的和。或者反过来说，如果一个自然数是另两个自然数的和，则它们的共同质因子不太多。

当然，这两句话的确切意思还是比较模糊的，它们不能构成确切的数学命题。其中一个重要的问题是，用什么标准来衡量两个自然数的共同质因子多还是少？那么接下来要介绍理解 abc 猜想中的一个前置概念，也是唯一的一个前置概念，自然数的“Radical”，我把它翻译成“质数基”，因为它反映的就是一个自然数的质因子的数量。

一个自然数的“质数基”是这样定义的：

把一个自然数做质因数分解，写成若干质数的幂次相乘的形式，然后把所有的指数都改为 1 ，或者说去掉指数，剩下的数字就是这个自然数的质数基。 另外规定 1 的质数基就是 1 。

举几个例子，用 rad(n) 表示 n 的质数基：

rad(16) = rad(2^4) = 2 ；

rad(17) = 17 ，因为 17 是质数；

rad(18) = rad(2×3^2) = 2×3 = 6 。

根据以上质数基的定义，比较容易确认，质数基是数论里的积性函数。

ChatGPT 对积性函数的介绍：

积性函数（multiplicative function）是数论中的一个重要概念，它是定义在正整数集上的函数，满足以下性质：

1. f(1) = 1 ：函数在 1 处的值为 1 。

2. 积性性质：对于任意两个互质的正整数 a 和 b ，有 f(ab) = f(a)×f(b) 。互质意味着 a 和 b 的最大公约数（gcd）为 1 。

积性函数的一个重要特例是完全积性函数（completely multiplicative function），它对任意两个正整数 a 和 b 都满足 f(ab) = f(a)×f(b) ，而不仅仅是对互质的情况。

对质数基函数 rad(n) 来说, a,b 互质时，rad(ab) = f(a)×f(b) ，所以质数基函数是积性函数，但不是完全积性函数。

就以上几个例子，你马上能感觉到，质数基某种程度上反映了某个自然数的质因子的数量。一个自然数的质因子多，它的质数基就会大；而并不是数字大，它的质数基就会大，比如，rad(3^100) = 3 ，还是很小。

以上就是关于质数基的概念。接下来，我们来考察一下这样的三个数字的质数基的情况，a 、b 、c 。其中 a 和 b 互质，c = a + b 。马上可以确认，如果 a 、b 互质，则 a 、b 与 a + b 也互质。所以，这里的 a 、b 、c 都互质。

然后我们找几个例子，比较一下 rad(abc) 与 c 的大小。因为质数基是积性函数，恰好 a 、b 、c 互质，所以 rad(abc) = rad(a)×rad(b)×rad(c) ，这个性质可以给我们的计算带来一些简便。

比如 a = 2 ，b = 3 ，c = a + b = 5 ，则

rad(abc) = rad(2)×rad(3)×rad(5) = 2×3×5 = 30 ＞ c 。

再来一组 a = 4 、b = 5 、c = 9 ，则：

rad(abc) = rad(4)×rad(5)×rad(9) = 2×5×3 = 30 ＞ c 。

以上两个例子中，都有 rad(abc) ＞ c ，所以是不是对任何符合以上条件的 a 、b 、c 都有呢?

答案是：不一定。比如取 a = 3 、b = 5^3 = 125 、c = 128 = 2^7 ，则：

rad(abc) = rad(3)×rad(125)×rad(128) = 3×5×2 = 30 ＜ c = 128 。

这个例子中，rad(abc) 要比 c 小非常多了。

再看一个类似例子，其中 a = 1 、b = 80 = 2^4×5 、c = a + b = 1 + 80 = 81 = 3^4 ，则：

rad(abc) =  rad(1)×rad(80)×rad(81) = 1×10×3 = 30 ＜ c = 81 。

至此，数学家考察的第一个问题是：是否存在无穷多组 a 、b 、c ，a 与 b 互质，且 c = a + b ，能够使得 rad(abc) ＜ c 呢？

从之前的例子中，能够看出，如果希望 rad(abc) 比较小，也就意味着 a 、b 、c 本身的质数基要小，它们最好都是很少的几个质数的高幂次构成的数。我相信你根据以上思路，尝试一下，你可以很容易构造出其他很多的 a 、b 、c 三元组，满足 rad(abc) ＜ c 。

但问题没完，虽然存在无穷多的 a 、b 、c 三元组，使得 rad(abc) ＜ c ，或者 c ＞ rad(abc) ，但是数学家发现，如果我们把边界条件改变一点点，“无穷多”就能变有限。所以，以下就是 abc 猜想的内容，虽然有点拗口，但我还是要写一下：

对任何小的 ε≥0 ，只存在有限多的 a 、b 、c 三元组，使得 c ＞ rad(abc)^(1+ε) 。

之前已经说明，存在无穷多的 a 、b 、c 三元组，使得 c ＞ rad(abc)^1 。

abc 猜想就是说，如果把指数上的“1”稍微增加一点点，改成 1.1 ，1.01 ，甚至 1.000001 ，那么就只有有限多的 a 、b 、c 三元组满足以上条件，是不是略感神奇？也就是“1 次方”是从无穷到有穷的一个分界线。

至此大家知道了 abc 猜想的内容，但可能你对这个猜想的感觉还是很模糊。所以我们要问：为什么要有这个猜想？考察一下动机很重要。

提出 abc 猜想的动机主要来自于对费马大定理的研究。假设费马大定理还没有被证明，你想怎么去攻克费马大定理？

数学家有这样一个思路，我们可以夸张一点来解释。我们考察方程：

a^100 + b^100 = c^100

的整数解。如果这个方程有整数解，那也就意味着 rad(a^100×b^100×c^100) 非常小（小于等于 abc ），要比 c^100 小太多了。那么，如果把 a^100 、 b^100 和 c^100 分别看做 abc 猜想里的 a 、b 、c ，那么 abc 猜想就是说这样的方程非常不可能有整数解。

因为如果有整数解，相当于是说 c ＞ rad(abc)^100 。而 abc 猜想说，这个 100 替换成哪怕 1.00000001 ，也只能有有限组解，所以原方程非常不可能有解。

当然，以上是一种不严格的论证，其实 abc 猜想是可以严格推出费马大定理的。网上有不少视频介绍如何从 abc 猜想推出费马大定理，有兴趣的可以搜搜看。

其实 abc 猜想不仅能推出费马大定理，它还能推出很多其他的猜想和定理。维基百科上直接列出了 19 条 abc 猜想的推论。除了费马大定理，我再说几个比较著名的 abc 猜想的推论，其中有好几个还是我之前曾介绍过的（文字主要由 ChatGPT 生成)。

费马-卡塔兰猜想：

费马-卡塔兰猜想是一个关于特定形式方程解的数论猜想。这个猜想可以看作是费马大定理的一个广义形式。费马-卡塔兰猜想涉及的方程式是：

x^a + y^b = z^c ，

这里的 x , y , z , a , b , c  都是正整数，且 a , b , c ≥ 2 。

费马-卡塔兰猜想的内容是：

对于任意满足 1/a + 1/b +1/c ＜ 1 的三个固定正整数 a , b , c ，这样的方程有且仅有有限个本原解（本原解意味着 x , y , z 两两互质）。

这个猜想是由数学家皮埃尔·德·费马提出，并由欧仁·卡塔兰进一步发展。尽管这个猜想已经被证明在某些特定情况下是正确的，但是它的完全证明仍然是数学界的一个未解问题。

Beal 猜想：

Beal 猜想是一个数论领域的未解猜想，由德州银行家安德鲁·比尔（Andrew Beal）于 1993 年提出。这个猜想与费马-卡塔兰猜想有类似之处，但它涉及更一般的形式。Beal猜想的数学表达式如下：

A^x + B^y = C^y ，

这里 A , B , C , x , y , z 都是正整数，且 a , b , c ＞ 2 。

Beal 猜想的主要内容是：

如果 A^x + B^y = C^y ，并且 A ，B ，C 有一个共同的素数因子，那么 A ，B 和 C 必须是有理数乘方的形式。换句话说，这个猜想认为上述方程的解在 A ，B 和 C 两两互质的情况下不可能存在。

如果能证明 Beal 猜想，它将有助于解决数论中的许多其他问题。由于这个猜想的重要性，Beal 甚至提供了一百万美元的奖金给能提供有效证明或反例的人。目前，Beal 猜想仍然是一个开放的问题，尚未有人证明或驳斥。

莫代尔猜想或者莫代尔-法尔廷斯定理：

莫代尔猜想（Mordell Conjecture），由英国数学家路易斯·莫代尔（Louis Mordell）在 1922 年提出，是代数几何和数论领域的一个重要猜想。该猜想涉及定义在有理数域 Q 上的代数曲线，特别是那些亏格大于 1 的曲线。

莫代尔猜想的主要内容如下：

对于任何定义在有理数 Q 上的亏格 g 大于 1 的代数曲线 C ，其有理点集 C(Q) 是有限的。亏格是衡量曲线复杂性的一个重要参数，亏格为 1 的曲线称为椭圆曲线，而亏格为 0 的曲线是可以用有理函数参数化的曲线。

简单来说，如果一条曲线的亏格大于 1 ，莫代尔猜想断言，只存在有限多个有理数点可以在这样的曲线上找到。这个猜想是数论和代数几何中的一个基本问题，因为它关系到有理数解的存在性和数量。

历史和证明：

莫代尔猜想在 1983 年被俄罗斯数学家格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings）证明，从此这一结果也被称为法尔廷斯定理。法尔廷斯的证明是一个重大突破，为解决多个与之相关的数学问题提供了方法和工具。他的工作不仅证明了莫代尔猜想，还对其他几个重要猜想给出了解决方案，包括希尔伯特第十问题的某些情况。因此，法尔廷斯的工作对代数几何和数论产生了深远的影响。

另外，abc 猜想的扩展版本可以直接推出不存在西格尔零点：

西格尔零点（Siegel zeros）是数论中的一个概念，特别涉及到解析数论中的 L 函数和 Dirichlet L 函数。这个概念与黎曼 ζ 函数的零点有联系，但它涉及更特定的情况。

西格尔零点的定义

西格尔零点是指存在于特定 Dirichlet L 函数上的、非常接近 1 的实部的特殊零点。更准确地说，对于某个特定的 Dirichlet 特征（通常是一个非主特征），其相应的 L 函数 L(s,χ) 在 s = 1 附近可能存在一个非常接近 1 的零点，这样的零点被称为西格尔零点。

数论中的重要性

西格尔零点的存在对数论的多个方面有深远的影响，尤其是在素数分布的研究上。西格尔零点的存在（如果它们确实存在）会导致一些关于素数分布的标准猜想（如广义黎曼假设）的异常情况，例如对于某些数论函数的最佳估计会受到影响。

西格尔零点与黎曼假设

西格尔零点的讨论与黎曼 ζ 函 数的黎曼假设有关，后者断言所有非平凡零点的实部是 1/2 。而对于 Dirichlet L 函数的类似假设，则认为所有非平凡零点的实部也应该是 1/2 。西格尔零点的存在性是黎曼假设在 Dirichlet L 函数上的一种潜在违反情况，尽管这种违反是在非常靠近 s = 1 的地方。

当前研究状态

目前，没有确定的证据表明西格尔零点真的存在，它们更多的是在理论分析和假设的讨论中出现。数学家们通过限制或消除西格尔零点的存在可能性来加强对数论中各种猜想的证明。

西格尔零点的研究仍然是解析数论中的一个活跃领域，它涉及到复杂的数学分析和对 L 函数行为的深入理解。

以上就是一些从 abc 猜想可以推出的命题，数量很多。以至于曾有人开玩笑说 abc 猜想很像假命题，因为从假命题可以推出所有命题。当然，这只是玩笑，多数数学家还是相信 abc 猜想是真的。


（上图：维基百科上列出的 abc 猜想的诸多推论）

接下来，我们再看看 abc 猜想的相关证明历史。abc 猜想最早是由法国数学家约瑟夫·奥斯特勒尔（Joseph Oesterlé）和英国数学家大卫·马瑟（David Masser）在 1985 年提出的。如前所述，它的推论非常强，所以这个猜想一提出就引起了数学家的很大关注。

但它为什么不叫“奥斯特勒尔——马瑟猜想”呢？这其实是提出者的一点幽默和传播学上的想法。因为这个命题涉及到三个自然数：a 、b 、c ，而“abc”在英语中有基础知识的意思（比如编程 abc ，就是编程基础知识）。所以两人就幽默了一下，把它叫做“abc 猜想”，而且事后从传播效果看，这个名称也要比“奥斯特勒尔——马瑟猜想”好很多。

此后，也有不少数学家投入了证明，有一些阶段性的成果。比如关于那个 c 的上下界。但这些上下界与最终目标比较，距离还是比较远的。

也有一些计算机计算的结果。比如数学家定义了一个称为“abc 三元组”的“质量”（quality）的指标。这个指标定义是：

        q(a,b,c) = log(c) / log(rad(abc)) 。

它的意思当 a 、b 、c 尽量大，abc 的质数基尽量小时，这组三元组的质量越好。abc 猜想的一个等价描述是：

对于每一个正实数 ε ，只存在有限多组互素的正整数三元组 (a,b,c) ，满足 a + b = c 且 q(a,b,c) ＞ 1 + ε 。


(上图：a 和 b 在 30 以内的 a , b , c = a + b 三元组的质量示意图。横轴表示 a 的值，纵轴表示 b 的值，a 、b 不互质时，设置质量值为最低。颜色越浅表示质量越高，比如 a = 16 , b = 9 的位置，就是一个质量比较高的位置。 )

目前找到的质量的最好的一组 a 、b 、c 三元组是这样三个数字：

a = 2 ，b = 3^10×109 ，c = 23^5 ，q(a,b,c) = 1.6299 。

接下来要聊聊望月新一（Shinichi Mochizuki）教授关于 abc 猜想的证明了。

望月新一出生于 1969 年，今年 55 岁。望月新一 5 岁的时候随父母离开日本前往纽约，他于 16 岁进入普林斯顿大学读本科，并毕业于 1988 年。然后他在 23 岁获得博士学位，他的博士导师正是之前提到的格尔德·法尔廷斯。他于 1992 年进入日本京都大学数理解析研究所，并于 2002 年晋升为教授。


（上图：京都大学教授，望月新一）

2012 年 8 月 30 日，望月新一在京都大学数学系的个人网站上贴了 4 篇共长达 512 页的论文（经过修改和增补，后来已经超过 600 页），宣称自己解决了 abc 猜想。但这些论文发出后，大多数数学家是懵圈的，因为根本看不懂。


（上图：望月天书一般的证明论文中的一页）

望月的证明中使用了自创的被称为“宇宙际泰希米勒理论”（英语：Inter-universal Teichmüller，简称 IUT ；其中的德文姓氏“泰希米勒”来源于数学家奥斯瓦尔德·泰希米勒）。要看懂他的理论，你需要去读之前望月有关此理论的一些论文，也有好几百页。因此绝大多数数学家看不懂，截至 2017 年底只有十几位数学家称能看懂该论文，他们声称望月的证明是正确的。

一开始，也有人曾要求望月对他的论文做一些解释，但是望月一概拒绝了这类请求。

事情拖延了六年，直至 2018 年 3 月，数学家彼得·舒尔茨（Peter Scholze）和 Jakob Stix 前往京都与望月新一会面讨论问题。舒尔茨作为德国的数学神童，获得过菲尔兹奖，大家对他应该不陌生。尽管他们的讨论没有解决存在的分歧，却让这些分歧点变得更为清晰。讨论后，舒尔茨和 Stix 撰写报告，指出证明中的逻辑错误，并声称这些问题严重到不能通过小修小补来解决；反之，望月则认为他们对理论的关键部分有误解，并进行了不恰当的简化。

到了 2020 年 4 月 3 日，位于京都的望月新一的研究所的两名数学家宣布，望月所提出的证明将在《数学科学研究所公报》上发表。望月是该杂志的主编，但他避免参与了对自己论文的审查过程。数学家 Kiran Kedlaya 和 Edward Frenkel ，以及《自然》杂志对这一宣布持有保留态度，认为这不太可能改变多数研究者的看法。到 2021 年 3 月，望月的证明正式在 RIMS 杂志上发表。

2024 年 3 月，亚利桑那大学教授基尔提·N·乔希在 arXiv 网站发布了一篇文章，声称他解决了舒尔茨指出的漏洞，并证明望月的证明是正确的，使用的还是望月原有的理论框架。

但对于乔希的这篇文章，望月新一的反应并不积极。他在自己的网站上发布了一份PDF报告，详尽地批评了乔希在该预印本中对互宇宙 Teichmüller 理论的应用和理解，指出乔希对理论的数学内容有严重误解，并认为这些预印本没有提供任何有价值的数学贡献。望月强调，尽管乔希使用了互宇宙 Teichmüller 理论的相关术语和符号，他对其数学实质的理解仍然浅薄。此外，报告还讨论了乔希方法的数学逻辑问题，并指出其论据和结果存在的缺陷。

3 月 27 日，乔希在数学社区网站 mathoverflow 上回应了望月的报告，依旧坚持自己的论文是正确的，并认为望月对他的论文有部分认可。尽管望月目前对他的论文持否定态度，乔希仍然相信他的工作能够最终完善望月的证明。

那么就是目前此事件到现在的全部进展，可以说，要评判望月新一对 abc 猜想的证明是否正确，让数学界达成一致，看起来还是遥遥无期。这对数学来说，不是一个好的状态，即一个命题在一部分数学家那里已经得到证明，而在另一部分人眼里还是猜想。

如果你问我，是否认为望月的证明正确，我只能说我不知道。不过我可以转述很久之前陶哲轩对此事的看法，他对望月的证明持谨慎的怀疑态度。

陶哲轩表示：

自己没有足够的专业知识对望月新一的工作给出第一手的评价。但通过将这一案例与他更熟悉的佩雷尔曼和张益唐的工作比较，他发现一个显著的区别是后者的研究中存在简短的“概念证明”，而前者则没有。他指出，在已有领域中，相关论文的方法可以比较快速地用来获得新的有趣结果或对现有结果的新证明。对于望月的工作，他认为如果能有一个较短的“概念证明”（例如少于 100 页），可能会帮助消除对该理论的怀疑。他觉得一个完全自成体系的理论如果只用于在 300 多页的铺垫后证明 abc 猜想，而这一体系的任何较小部分都没有任何有意义的外部应用，这种情况似乎很奇怪。

我来稍微解释一下陶哲轩的意思：

陶哲轩的意思在于，一个庞大的新理论，一般来说不应该是只有单一成果的。就像你在深山老林中寻宝，你走了非常长的路之后，终于找到了一片宝藏，但一般来说，沿路上多少会有一些低垂的果实。不太会是沿路都是光秃秃的，突然之间找到了一大片金矿。

数学也是一样。望月的那一整套理论，几乎要耗尽一个人一生事件来学习，似乎最终只能用来证明 abc 猜想，这是非常奇怪的。好像这个理论只是为了设计出来证明 abc 猜想，这太奇怪了。这就是陶哲轩为什么对望月的证明持怀疑态度的原因。

在我看来，解决目前问题的最好办法是把望月的证明形式化，然后就可以交由电脑验证。形式化完成之后，电脑认为正确，那必然正确，不管人看得懂看不懂。但问题在于，目前形式化一个证明所需工作量是巨大的。我之前曾介绍过，为了形式化开普勒猜想的证明，用群体协作方法，也耗费了 10 多年的时间。

而望月的这套理论如此复杂，所需工作量大概要以几十年，一百年都有可能。而且你还得先读懂他的理论才行才能做这个工作。所以目前看，形式化也是不可能的，这个悬案只能持续下去。

参考文档：

https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture

https://dash.harvard.edu/bitstre ... Number%20Theory.pdf

https://www.math.arizona.edu/~kirti/

https://www.quantamagazine.org/h ... abc-proof-20151221/

https://www.quantamagazine.org/t ... onjecture-20180920/

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp ... 20of%20preprints%20(2024-03).pdf

https://mathoverflow.net/questio ... on-th/467851#467851

https://news.ycombinator.com/item?id=15971802

大老李聊数学

被遗弃的草根

1. 在 ε≥0的情况下，ABC猜想是一个摸棱两可的问题，即，在 ε等于相邻0的依次正实数时，ABC猜想不成立；在 ε等于任意指定的正实数时，ABC猜想成立。
2，Beal 猜想成立。

我各用一篇论文说明了第一问题和证明了第二猜想。