【翻译】解决几何 Langlands 猜想的里程碑式证明

luyuanhong

【翻译】解决几何 Langlands 猜想的里程碑式证明

作者：Erica Klarreich

翻译：Claude 3 Opus

校对：LostAbaddon

在经过 30 年的努力之后，数学家们证明了一个名为 Langlands 纲领的深刻数学愿景的主要部分。

一个由 9 位数学家组成的团队已经证明了几何 Langlands 猜想，它是现代数学中最具影响力的范式之一的关键组成部分。

这个证明代表了 30 年努力的高潮，没有参与证明的著名数学家、马克斯·普朗克数学研究所（Max Planck Institute for Mathematics）的 Peter Scholze 说：“看到它被解决真是太棒了。”

Langlands 纲领由 Robert Langlands 在 20 世纪 60 年代提出，是傅里叶分析（Fourier analysis）的一个广泛推广，在傅里叶分析这个影响深远的框架中，复杂的波被表示为平滑振荡的正弦波。Langlands 纲领在数学的三个独立领域占据主导地位：数论、几何和一个叫做函数域（function field）的东西。这三个领域通过一个通常被称为“数学罗塞塔石碑（Rosetta stone，https://www.quantamagazine.org/a ... thematics-20240506/）”的类比网络连接在一起。

现在，一组新的论文（https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/）已经解决了罗塞塔石碑几何一栏中的 Langlands 猜想。“在其他任何一个领域，都没有证明过如此全面和强大的结果”，德克萨斯大学奥斯汀分校（University of Texas, Austin）的 David Ben-Zvi 说。

“这是美丽的数学，是同类中最好的”，几何 Langlands 纲领的主要先驱之一 Alexander Beilinson 说。

这个证明涉及 5 篇论文中超过 800 页的内容。它是由 Dennis Gaitsgory（Scholze 在马克斯·普朗克研究所的同事）和耶鲁大学（Yale University）的 Sam Raskin 领导的一个团队撰写的。

Gaitsgory 在过去 30 年里一直致力于证明几何 Langlands 猜想。几十年来，他和他的合作者开发了大量的工作，新的证明就建立在这些工作之上。格勒诺布尔阿尔卑斯大学（Grenoble Alps University）的 Vincent Lafforgue 将这些进展比作一个“上升的海”，这是本着 20 世纪杰出数学家亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）的精神，他曾谈到通过在困难问题周围创造一个逐渐上升的思想之海来解决它们。


Dennis Gaitsgory（左）和 Sam Raskin 领导的 9 人团队证明了几何 Langlands 猜想。

数学家们需要一段时间来消化这项新工作，但许多人对核心思想的正确性表示了信心。“这个理论有很多内在的一致性，所以很难相信会有错误”，Lafforgue 说。

Ben-Zvi 认为，在证明出现之前的几年里，研究团队不仅创造了一条，而是创造了多条通往问题核心的路径。“他们开发的理解是如此丰富和广泛，以至于他们从各个方向包围了这个问题”，他说，“它无路可逃。”

大统一理论

1967 年，当时 30 岁的普林斯顿大学（Princeton University）教授 Robert Langlands 在一封 17 页手写信中向罗塞塔石碑的创始人 André Weil 阐述了他的愿景。Langlands 写道，在罗塞塔石碑的数论和函数域这两栏中，可能创造出一个具有惊人广度和力量的傅里叶分析推广。

《数学罗塞塔石碑介绍》：https://www.quantamagazine.org/a ... thematics-20240506/

在经典的傅里叶分析中，一个叫做傅里叶变换（Fourier transform）的过程在波形图（如声波）的两种不同思考方式之间建立了对应关系。在对应关系的一边是波本身（我们称之为“波侧”），其中包括简单的正弦波（在声学中是纯音）和由正弦波组合而成的更复杂的波。在对应关系的另一边是正弦波频率的频谱，即它们的音高（数学家称之为“谱侧”） 。

傅里叶变换在这两边来回移动。一个方向，它允许你将一个波分解成一组频率；另一个方向，它允许你从构成频率重构波。在这个鸿沟两边移动的能力是广泛应用的核心——没有它，我们就不会有现代电信、信号处理、磁共振成像或现代生活中许多其他必需品。

Langlands 提出，在罗塞塔石碑的数论和函数域这两栏中也发生类似的事情，但涉及更复杂的波和频率。

在这两栏中的每一栏中，都有一个波侧，由一组类似于重复波的特殊函数组成。其中最纯粹的是一类被称为特征函数（eigenfunction，来自德语"特征"一词）的函数，扮演着正弦波的角色。每个特征函数都有一个特征频率。但是，正弦波的频率是一个单一的数字，而特征函数的频率是一个无限的数字列表。

还有一个谱侧。它由一组来自数论的对象组成，Langlands 认为，这些对象标记了特征函数的频谱。他提出，一个类似于傅里叶变换的过程将波侧和谱侧联系了起来。“这是一种奇迹”，Ben-Zvi 说，“这不是我们有任何先验理由可以期待的事情。”

波与频这两个标签来自数学的截然不同的领域，因此它们之间的对应关系——当它能被证明时——通常会带来丰厚的回报。例如，20 世纪 90 年代，对数论 Langlands 对应中相对较小的一组函数的证明使 Andrew Wiles 和 Richard Taylor 能够证明费马大定理（Fermat's Last Theorem），这个定理在三个世纪以来一直是数学中最著名的未解决问题之一。

用加州大学伯克利分校（University of California, Berkeley）的 Edward Frenkel 的话说，Langlands 纲领被视为“数学的大统一理论”。然而，即使数学家们开始努力证明 Langlands 愿景中越来越大的部分，他们也意识到这个愿景是不完整的。它似乎无法在罗塞塔石碑的第三栏——几何部分讲述一个关于波与频的故事。

一粒沙子

从 Langlands 工作的一开始，数学家们就对几何 Langlands 对应的谱侧应该是什么样子有了一个想法。罗塞塔石碑的第三栏涉及紧黎曼曲面（compact Riemann surface），它们是球面、圆环面和有多个孔的圆环面。一个给定的黎曼曲面有一个相应的对象，叫做它的基本群（fundamental group），它标记了闭合曲线可以在曲面上缠绕的不同方式。数学家们怀疑，几何 Langlands 对应的谱侧应该由基本群的某些要素构成，这些要素被称为它的“表示”。


从循环到基本群

如果 Langlands 对应要在罗塞塔石碑的几何一栏中有所体现，那么黎曼曲面基本群的每个表示都应该代表一个频率——但是什么的频率呢？

数学家们找不到任何似乎可以被基本群表示标记的特征函数集。在此之后，到了 20 世纪 80 年代，现在在芝加哥大学（University of Chicago）的 Vladimir Drinfeld 意识到，通过用更复杂的对象——特征层（eigensheaf）取代特征函数，可能可以创造出一个几何 Langlands 对应——尽管当时他只知道如何构造其中的某几个。

层比函数更加深奥，数论学家不知道如何理解这个提议下的几何 Langlands 对应表亲。但是，尽管几何 Langlands 纲领的波侧很抽象，但与该纲领的数论版本相比，它有一个很大的优势。在几何 Langlands 中，特征层的频率由黎曼曲面上的点决定，而球面或圆环上的每个点在近距离看起来都非常相似。而在数论 Langlands 中，频率由素数控制，每个素数都有独特的性质。数学家们不知道“如何以一种优雅的方式从一个素数转到另一个素数”，伦敦帝国理工学院（Imperial College London）的数论学家 Ana Caraiani 说。

《什么是层？》：https://www.quantamagazine.org/what-are-sheaves-20240719/

黎曼曲面在物理学中扮演着重要角色，特别是在共形场论（conformal field theory）中，它控制着亚原子粒子在某些力场中的行为。在 20 世纪 90 年代早期，Beilinson 和 Drinfeld 展示了如何使用共形场论来构建某些特别好的特征层。

与共形场论的联系为 Beilinson 和 Drinfeld 提供了一个开始思考如何为层构建一个傅里叶分析版本的起点。“这就像结晶里的一粒小沙子”，Ben-Zvi 说。

Beilinson 和 Drinfeld 提出了一个关于几何 Langlands 对应应该如何工作的丰富愿景。不仅仅是基本群的每个表示都应该标记为一个特征层的频率，他们认为这种对应关系还应该考虑双方的重要关系，Beilinson 和 Drinfeld 称之为“最佳希望”。

在 20 世纪 90 年代中期，Beilinson 在特拉维夫大学（Tel Aviv University）就这个正在发展的图景进行了一系列讲座。当时是研究生的 Gaitsgory 如饥似渴地听着每一个字。“我就想一只刚破壳的小鸭子那样被深深地打上了烙印”，Gaitsgory 回忆道。

在此后的 30 年里，几何 Langlands 猜想一直是 Gaitsgory 数学生涯的主要驱动力。“所有这些年来都是不间断的工作，越来越接近，开发各种工具”，他说。

升起的海面

Beilinson 和 Drinfeld 只是粗略地陈述了他们的猜想，事实证明，他们对于“最佳希望”中的关系应该如何运作的看法有点过于简单了。2012 年，Gaitsgory 和威斯康星大学麦迪逊分校的 Dima Arinkin 弄清楚了如何将“最佳希望”变成一个精确的猜想（https://arxiv.org/abs/1201.6343）。次年，Gaitsgory 写了一个如何证明几何 Langlands 猜想的大纲（https://arxiv.org/abs/1302.2506）。这份大纲依赖于大量尚未被证明的中间陈述，而 Gaitsgory 和他的合作者则开始着手一一证明它们。

在接下来的几年里，Gaitsgory 和多伦多大学的 Nick Rozenblyum 写了两本关于层的书（https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=SURV/221），总计近 1000 页。在这两卷集中，只有一次提到了几何 Langlands 纲领。“但其目的是奠定基础，我们最终非常频繁地使用了这些基础”，Gaitsgory 说。

2020 年 Covid-19 爆发时，Gaitsgory 突然发现自己的日程表空了。“我躺在床上思考了三个月”，他说。这种思考最终写成了一篇六作者论文（https://arxiv.org/abs/2010.01906），虽然主要是关于 Langlands 纲领的函数域的，但它包含了后来成为几何 Langlands 猜想证明关键组成部分的种子：一种理解每个特征成是如何为我们认为的“白噪音”做出贡献的方法。

在经典信号处理中，声波由一系列正弦波构成，这些正弦波的频率对应了声音中所包含的音高。仅知道声音包含哪些音高是不够的——你还必须知道每个音高的响度有多大。这些信息可以让你将声音写成正弦波的叠加：首先从振幅为 1 的正弦波开始，然后在把正弦波相加之前，将每个正弦波乘以一个适当的响度因子。所有振幅为 1 的不同正弦波叠加在一起就是我们通常所说的白噪声。

在几何 Langlands 纲领的世界中，特征层说扮演的角色应该就是正弦波。Gaitsgory 和他的合作者已经确定了一种叫做庞加莱层（Poincaré Sheaf）的东西，它似乎就在扮演白噪声的角色。但研究人员不知道每个特征层是否都在庞加莱层中有所表示，更不用说它们是否都具有相同的振幅了。

2022 年春天，Raskin 与他的研究生 Joakim Faergeman 一起展示了如何使用 Gaitsgory 那篇六作者论文中的想法来证明每个特征层确实对庞加莱层有贡献（https://arxiv.org/abs/2207.02955）。“在 Sam 和 Joakim 的论文之后，我确信我们短时间内就能实现最佳希望”，Gaitsgory 在谈到证明几何 Langlands 猜想时说。

研究人员需要表明，所有特征层对庞加莱层的贡献都是相等的，并且基本群表示标记了这些特征层的频率。他们意识到，最棘手的部分是处理被称为不可约表示的基本群表示。

当 Raskin 的个人生活充满混乱时，他找到了这些不可约表示的解决方案。在他和 Faergeman 在网上发表论文的几周后，Raskin 不得不急忙将怀孕的妻子送到医院，然后回家带儿子上幼儿园的第一天。Raskin 的妻子一直住在医院，直到六周后他们的第二个孩子出生，在此期间，Raskin 的生活围绕着让儿子的生活保持正常，以及在家、儿子的学校和医院之间无休止地开车。“我的整个生活就是汽车和照顾人”，他说。

他开始在开车时给 Gaitsgory 打电话聊数学。在第一周结束时，Raskin 意识到他可以将不可约表示的问题简化为证明三个要点，而这三个要点都触手可及。“对我来说，这是一个令人惊奇的时期”，他说。他的个人生活“充满了对未来的焦虑和恐惧。对我来说，数学总是一种非常扎实和冥想的东西，它让我摆脱了这种焦虑。”


顺时针从左至右：Dario Beraldo 、Lin Chen 、Kevin Lin 、Nick Rozenblyum 、Joakim Faergeman 、Justin Campbell 和 Dima Arinkin

到 2023 年初，Gaitsgory 和 Raskin，以及 Arinkin 、Rozenblyum 、Faergeman 以及其他四位研究人员（其他研究人员是伦敦大学学院的 Dario Beraldo、北京清华大学的 Lin Chen ，以及芝加哥大学的 Justin Campbell 和 Kevin Lin ）一起，完成了由 Gaitsgory 和 Arinkin 修改过的 Beilinson 和 Drinfeld 的“最佳希望”的完整证明。该团队花了一年时间来撰写论文，并于 2 月在网上发表。虽然这些论文遵循了 Gaitsgory 在 2013 年提出的大纲的某些方面，但它们在许多方面既简化了他的方法，也超越了他的方法。“非常聪明的人为这一巅峰成就贡献了许多新思想”，Lafforgue 说。

“他们不只是证明了它”，Ben-Zvi 说，“他们围绕它发掘了一整个世界。”

更远的海岸

对于 Gaitsgory 来说，实现他几十年的梦想远非故事的结束。一系列进一步的挑战等待着数学家们——更深入地探索与量子物理学的联系，将结果扩展到带有瑕点（puncture）的黎曼曲面，并找出其对罗塞塔石碑其他列的影响。“感觉（至少对我而言）更像是一大块岩石上的一小部分已经被挖走，但我们离核心还很远”，Gaitsgory 在一封电子邮件中写道。

现在，正忙着其他两列的研究人员迫不及待地想要翻译他们所能翻译的东西。“其中一个主要部分的崩塌应该会在整个 Langlands 对应中产生重大影响”，Ben-Zvi 说。

并非一切都可以照搬——例如，在数论和函数域环境中，没有相当于共形场论的数学对象，而共形场论使研究人员能够在几何环境中构建特殊的特征层。伯克利分校的Tony Feng 提醒道：在其他两列中，证明需要进行大量调整才能奏效。他认为“我们是否能够将这些想法转移到一个不是为其设计的不同背景中”仍值得商榷。

但许多研究人员乐观地认为，不断上升的思想之海最终会浸润其他领域。“它将渗透进学科之间的所有沟壑”，Ben-Zvi 说。

在过去十年中，研究人员开始发现几何列与其他两列之间存在意外的联系。“如果几何 Langlands 猜想在 10 年前被证明，那么结果将会非常不同”，Feng 说，“人们不会意识到它可能会在几何 Langlands 社区之外产生影响。”

Gaitsgory、Raskin 及其合作者已经在将他们的几何 Langlands 证明转化为函数域列方面取得了进展（Raskin 曾暗示 Gaitsgory 和他在其漫长的车程中所做的一些发现“还有待发表”）。如果成功，这种转化将证明一个比数学家以前所知或甚至猜想的更精确的函数域版本的 Langlands 纲领。

从几何列到数论列的大多数翻译都会途经函数域。但在 2021 年，巴黎 Jussieu 数学研究所的 Laurent Fargues 和 Scholze 设计了一个 Scholze 称之为“虫洞”（https://www.quantamagazine.org/w ... d-numbers-20210719/）的东西，它将想法直接从几何列传送到数论 Langlands 纲领的一部分。

“我绝对是现在试图翻译所有这些几何 Langlands 东西的人之一”，Scholze 说。随着不断上升的思想之海溢出成数千页文本，这绝非易事。“我试图阅读他们在 2010 年左右所做的工作”，Scholze 说，“目前还落后几篇论文。”

现在，几何 Langlands 的研究人员终于将他们冗长的证明写在纸上，Caraiani 希望他们能有更多时间与数论方面的研究人员交谈，“这些人有非常不同的思考方式，如果他们能放慢速度互相交谈，看到对方的观点，总是有好处的。”她预测，新工作中的想法渗透到数论中只是时间问题。

正如 Ben-Zvi 所说：“这些结果是如此强大，一旦你开始，就很难停下来。”

相关文章

●《新形状在数字和几何之间打开“虫洞”》：https://www.quantamagazine.org/w ... d-numbers-20210719/

●《在数论中发现电磁学的回声》：https://www.quantamagazine.org/e ... er-theory-20231012/

●《喜欢搭建桥梁的数学家》：https://www.quantamagazine.org/a ... l-bridges-20211117/

原创 LostAbaddon 延迟更新 2024 年 07 月 23 日 12:45 上海