Patrick 的学习笔记 15 —— 一瞬的流星，天才伽罗瓦和群论

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Patrick 的学习笔记 15 —— 一瞬的流星，天才伽罗瓦和群论

原创 patrick2000 倾盖若水 2024 年 05 月 17 日 19:19 安徽

今天来讲讲和我男神阿贝尔同时期的另一位短命天才——伽罗瓦和他的群论。


埃瓦里斯特·伽罗瓦（Evariste Galois ，1811 年 10 月 25 日 — 1832 年 5 月 31 日），法国数学家。群论的创立者。（百度百科）

才不到 21 岁，其实关于伽罗瓦的死，可以说道说道，他是咋死的呢？

因为爱情，和情敌对斗而死，所以说，女人，注意你们配偶的选择，没准因为你的选择，就葬送了一名数学天才的一生。

好了，不开玩笑了，我们现在知道伽罗瓦是决斗而死，那他在决斗前一天晚上干啥了呢？

他在决斗前一天晚上完成了第一论文的修改，开创了群的概念，不仅终结了持续几个世纪的数学难题，发现了能够以代数的方式解方程的充分必要条件。

而且群的出现开创了一个全新的数学分支，群论。群论不仅在数学领域极其重要，现代物理的发展更是完全离不开群论、相对论、量子力学，尤其是粒子物理，都需要用群来进行描述，为什么呢？因为群描述的是对称性，当年爱因斯坦就是根据物理定律，必须具有对称性的原理，创立了狭义和广义相对论。

杨振宁把对称性的思想继续发扬光大，创立了大名鼎鼎的非阿贝尔规范场论，也叫杨-米尔斯理论，成为粒子物理标准模型的基础。

这里我还是认为杨振宁是可以与爱因斯坦，牛顿比肩的物理学家。—— 题外话  

今天我们就聊一聊什么是群？

群论是描述对称性的数学语言。

所以我们从最直观的图形的对称性来看起，我们来观察一个等边三角形的对称性。

方便起见，我用以前写过的蝴蝶效应的图了。



我们在顶点上标记上 ABC 。所谓对称性，其实就是经过某种操作后的不变性。

比如以三角形的中心为中心，顺时针旋转 2π/3 ，或者旋转 4π/3 ，图形都可以完美重合。

旋转一次 2π/3 的操作，我们记作 Ω ，用矩阵表示，就是这样的：



上面是 ABC 三个顶点的编号，下面是旋转后的编号。

然后我们还可以围绕三角形的一条垂线来旋转 π ，图形也会完美重叠。我们把这种操作叫做 λ ：



我们把正三角的所有对称性总结一下，就是一共这六种：



我们把这六种操作作为元素组成一个集合。



同时我们定义了一种二维运算，把它称作群的乘法。

当然这里的乘法不是指数字的乘法，而是我们可以自己定义的一种运算。

比如在这个例子中，就是把两种旋转操作叠加。

比如先围绕中心顺时针旋转 2π/3 ，再以 A 点的垂线旋转 π 。然后你会发现这两种旋转操作相乘就相当于围绕点 B 的垂线旋转 π 。

就说这两个操作相乘后得到的操作还是包含在这个集合当中的，这个就叫做群的封闭性。

而且这种乘法是满足结合率的，同时，这个集合中存在一个单位圆，就是旋转零度维持不动的这个操作。

所以任何一种操作乘以单位圆都不变，在集合中的操作都有一个相反的操作，对应按照某个方向旋转，只要按相反方向旋转，相同角度就可以恢复到初始状态。

以上的这四条性质就是数学家们发现的，对于很多对称变换共有的性质，所以不妨把这种公共性质抽象出来，直接研究这些性质本身。

于是，我们就把满足上述性质的东西定义为一种数学对象，称为群。

这样我们就定义了什么是群。

群是一种规定了特殊乘法的集合，在这个乘法的框架下，集合中的元素运算满足

① 恒等元素，存在运算后不改变另一元素的元素；

② 封闭性，运算的结果仍在集合之内；

③ 逆元素，每个元素都存在一个与它运算后等于恒等元素的元素；

④ 结合律，改变运算顺序不改变结果。

这四个条件。

所以说群在数学中属于第三级抽象。

第一级抽象是用数来表示世间万物。

第二节抽象是用字母表示数。

第三节象抽就是运算规则的抽象。

比起注入加法和乘法，这些运算更本质的其实是运算律。

比如交换律、结合律、可逆元单位圆这些概念。

了解一点数学史的人就知道迦罗瓦是用群来证明高次方程无一般性根式解的。

写在 Galois 之前：一元五次以上方程为何无求根公式，高中生都能看懂的 Galois 理论——从 Lagrange 到 Galois 。

这绝对不是一般高中生能看懂的，起码得是接受过专业竞赛训练的高中生。—— 吐槽

我们肯定没时间具体展开伽罗瓦理论只能简单说说为什么对称性可以用来解方程。

比方说一个二次方程，它有两个根 x1 和 x2 ，然后中学的时候大家都学过根与系数的关系。但那个时候大家可能都没有注意到这里面隐藏的深意。

我们交换两个根的位置，你会发现这两个式子是不变的。

所以它们其实是关于根的对称式，就是说对于两个根的交换方程中的系数是对称的。

所以二次方程对应了一个二次对称群。这时候你先忘记掉求根公式，我们来看看如何利用对称性来解出求根公式。

首先我们令 α=x1+x2 ，β=x1-x2 ，这样我们凑一下就能用它来求出二次方程的根了。

转换两个根的位置，α 是不会变的，它也是对称的，可以用系数的加减乘除来表示，因为系数也是在根的转换中对称的。

但是呢 β 在两个根的转换中符号会发生变化，所以它没法用系数的加减乘除来表示，因为系数在根的转换中是不变的。

但是呢把 β 平方一下就没问题，平方之后的式子是关于根的转换对称的，所以可以用系数的加减乘数来表示了。

最后两边开平方就得到了 β ，然后一组合就得到了二次方程的求根公式，三次方程，四次方程也是一样的，不过更加复杂。

比如三次方程对应的是一个三次对称群，就是文章前面讲的正三角形旋转对称的那个群。

它的拉格朗日域解释也更复杂一些，这里不具体展开了。

通过二次方程的例子，我们起码知道为什么对称性可以用来解方程。

加罗瓦最后得出的结论是，每个方程都有一个对应的加罗瓦群，一般形式的 n 次方程的伽罗瓦群就是 n 次对称群。

不过在特殊形式的方程中加罗瓦群有时会缩小。

比方说这个五次方程，它的加罗瓦群和一次方程是相同的，以代数方式解方程的充分必要条件就是方程的加罗瓦群是可解的。

比方说一般四次方程对应的四次对称群可以分解成四个简单的循环群，但是一般五次方程对应的五次对称群分解后包含一个特殊的群，它对应的是正二十面体的旋转对称性，而这个群就是不能继续分解的。所以五次方程是不存在求根公式的。

伽罗瓦是在决斗前一天晚上预感到自己会在决斗中死亡，从而连夜赶稿，反复修改，省略了很多过程。

由于这个问题是非常复杂的，而且当时并没有群和域这样的数学工具，导致这篇论文理解起来极其困难。

连当时顶级的数学家柏松，傅里叶，拉普拉斯，柯西都难以理解，这是因为是否能以代数方式解方程的充分必要条件，并不是用方程的系数来表示的，而是用解的置换权来表示。

别问高斯去哪了，当时和他的学生黎曼研究非欧几何去了，没空看。

好了，这篇文章到这里就结束了，这篇文章开始写的很早，但是由于最近我吊的一种药加量了，所以现在才写完。

最后，还是感谢各位能看到这里。

patrick2000