康托尔定理

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康托尔定理

原创 白鹤 数学和 AI Teach 2024 年 05 月 18 日 23:57 北京

       康托尔定理探讨了无穷集的幂集基数与集合本身基数的关系，它引入了一个非常重要的概念——幂集。幂集是给定集合的所有子集的集合，记作 P[A] 。举个例子，如果 A={a, b, c} ，那么 A 有 8 个子集，因此 A 的幂集就是包含这 8 个子集的集合，即 P[A]={ { }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }。

       需要注意的是，空集 {  } 和集合 A 本身是 A 的幂集中的两个元素，而且幂集本身也是一个集合。这一点在康托尔的思想中起着关键作用。因此，无论集合 A 是什么样子的，这个基本事实都是不容忽视的。

       在我们的例子中，幂集的基数大于集合本身的基数。也就是说，集合 A 包含 3 个元素，而它的幂集包含 2^3 = 8 个元素。我们还可以得出结论，一个包含 4 个元素的集合有 2^4 = 16 个子集，一个包含 5 个元素的集合有 2^5 = 32 个子集，总之，一个包含 n 个元素的集合 A 有 2^n 个子集。我们可以用符号 |P[A]| = 2^n 来表示这一点。

       然而，当 A 是一个无穷集时，情况又会如何呢？无穷集的幂集基数是否同样大于集合本身的基数呢？这正是康托尔定理所要回答的争论性问题。

       康托尔定理指出，如果 A 是一个集合，那么 A 的基数一定小于它的幂集的基数。要证明这一点，我们可以假设 A 和它的幂集 P[A] 有相同的基数，并从中引出矛盾。我们可以很容易地建立 A 和 P[A] 的一个对应关系：如果 A={a, b, c, ...} ，那么元素 a 可以对应于子集 {a} ，元素 b 对应于子集 {b} ，以此类推。因此，A 一定小于等于 P[A] 。

       现在，假设 A 和 P[A] 有相同的基数。根据假设，必须存在一个从 A 到 P[A] 的一一对应关系。为了方便论证，我们可以把这个对应关系列出来： a 对应于 {a} ，b 对应于 {b} ，等等。然而，这种假设导致了一个矛盾：



       通过这种二分法，我们可以发现一个有趣的现象：我们可以将 A 的元素分为两类。第一类元素属于它们对应的子集，第二类元素不属于。我们现在可以定义集合 B ：B 包含第一类元素中不属于它们对应子集的元素。根据我们之前展示的对应关系，B 包括元素 a、b、d 和 g ，而排除元素 c、e 和 f 。但是，这种划分导致了一个矛盾。因为 B 是 A 的一个子集，它必然属于 P[A] 。所以在 P[A] 的元素中一定有某个元素 y 对应于 B 。但在 A 中，又一定有元素对应于 B 。


     
       但是现在出现了一个致命的问题：“ y 是 B 的元素吗？”有两种可能情况。

        1：假设 y 不是 B 的元素。 根据我们最初对 B 所做的定义，“原集合 A 中每一个不属于它所对应的子集的元素的集合”，我们会发现 y 必定是 B 的成员，因为在这种情况下，y 不是它所对应的集合的元素。换句话说，如果我们首先假定 y 不属于 B ，那么我们就被迫得出结论，y 应当是 B 的元素。这显然是自相矛盾的，因此情况 1 是不可能的，予以排除。

        2：假设 y 是 B 的元素。根据 B 的定义，因为情况 2 假定 y 属于 B ，那么 y 应当符合 B 的定义，即 y 不是它所对应的集合的元素。但与 y 对应的集合恰恰是 B ，所以 y 不可能是集合 B 的元素。

       康托尔定理的深层含义是，无论我们最初选择什么样的集合，其幂集一定具有更大的基数。康托尔本人曾经这样表达：“可以找到另一集合 M，将其与任何已知集合 L 一一对应，并使得 M 的基数大于 L 的基数。”

       乔治·康托尔不但是第一个超限数的迎宾，也是无穷大世界中的探险家。他发现了一个又一个更复杂的无穷基数，而且通过不断应用康托尔定理，他还揭示了一个无穷的不等式链，永远向着更大的无穷延伸。康托尔定理开启了一扇门，通往一个神秘而深奥的世界，在那里，数学与哲学和神学交织在一起。值得一提的是，康托尔本人很清楚他关于无穷的理论所具有的哲学和玄学意义。根据约瑟夫·多邦对康托尔生平的描述，康托尔将自己视为上帝的使者，将超限数理论视为天启。康托尔写道：“我坚信超限数是正确的，因为我得到了上帝的帮助。我花了二十多年时间研究它们，每一年，每一天我都在发现新的东西。” 可以看出，宗教信念深刻地影响了康托尔的数学思想。他来自一个有宗教背景的家庭，这可能为他的哲学思想奠定了基础。康托尔的作品展现出一种独特的数学与宗教融合，使他的思想更加引人入胜。

       康托尔的神秘主义态度以及他对数学的激进看法使他在数学界备受争议。他将自己的数学发现视为来自上帝的启示，这为那些反对他的无穷概念的保守数学家提供了攻击的把柄。除了数学之外，康托尔对培根-莎士比亚理论和有关不列颠国王的秘密资料的狂热研究，也让他成了一个古怪人。他的这些行为让人们越来越认为他是个古怪人，甚至是疯狂的。康托尔与数学界一些有影响力的成员之间的关系也日益紧张。他的理论的确令人困惑，即使是善意的人也难以理解。我们将在后记中探讨其中一个问题。

       集合论中存在一些令人费解的悖论，甚至连像康托尔这样的天才都难以解决。其中最著名的一个悖论来自康托尔自己的一个发现。当我们把康托尔定理应用于包含所有集合的“泛集”时，就会发现一个矛盾：看似已经包含了所有可能的集合，但康托尔定理告诉我们还有更多之前未曾见过的集合！这个悖论在 1895 年被康托尔发现，并困扰了数学界几十年。为了消除这一逻辑上的矛盾，数学家们最终意识到需要一个正式的集合论公理系统。