4 种颜色唤醒“沉睡的数学公理”

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4 种颜色唤醒“沉睡的数学公理”

想象一下，有一位画家在画一头棕色的小牛和一条棕色的大狗……他得给它们涂上颜色，好让你一眼就能分辨出它们，那么，你会希望他把它们都涂上棕色吗？

当然不会。如果他把其中一个动物涂成蓝色，那就很容易分辨。对于地图也是如此。这就是为什么人们对每个州使用不同的颜色……

——马克·吐温，《汤姆·索亚出国记》

四种颜色就够了：一个数学故事

作者：[英] 罗宾·威尔逊（Robin Wilson）

译者：何生

四色定理、哥德巴赫猜想、费马大定理并称“近代三大数学问题之一”，而其中四色问题貌似最为简单，却将数学研究引向了最大的不可知。动手画一画，谁都能理解这个问题在说什么。在百年岁月里，从天文学家、植物学家到高尔夫球手，众多数学爱好者以及当时几乎每一位伟大家，都曾思考过四色问题。

但谁也没料到，最终在计算机的帮助下，人们才得到一个完整的证明……这个问题有这么难吗？

这是一个关于色彩和地图的故事，一个关于证明和解决问题的故事，一个关于数学及其无穷魅力的故事。

1  什么是四色问题？

四色问题的定义很简单，它与地图着色有关。在为地图着色时，我们很自然地希望对邻接的国家使用不同的颜色，以便将它们区分开。那么，对于整幅地图而言，我们需要几种颜色呢？乍一看，人们也许以为，地图越复杂，需要的颜色就会越多。然而出人意料的是，事实并非如此。对于任意地图而言，似乎至多只需要四种颜色就够了。于是，人们便引出了四色问题：

在邻接的国家使用不同颜色的前提下，所有地图都只需要至多四种颜色吗？



破解任何谜题，比如拼图游戏或纵横填字游戏，都能给人们带来纯粹的快乐，让人们放松。同样，四色问题也能让人成日地沉浸在喜悦（或沮丧）之中。从某种意义上来说，四色问题算是一种挑战，就像登山运动能给攀登者带来突破身体极限的愉悦一样，这个问题的定义如此简单，但又显然难以征服，它也为数学家带来了极为复杂的智力挑战。

2  怎样才算“解决”四色问题

若想“证明”四色定理，就需要说明所有地图，无论是真实世界的地理地图，还是凭个人喜好精心绘制的假地图，都只需要四种颜色。

如果命题不成立，人们就得拿出一幅需要五种甚至更多颜色的地图来证明——只需要一幅就行。

然而，如果命题成立，那就必须对所有可能的地图都进行验证：即便已经验证了亿万幅地图也是不够的，因为或许就有那么一幅没有被验证过的地图，它在排列区域时的确需要五种甚至更多颜色。

在其他科学领域里，若想证明给定的猜想，只要在满足基本假设的前提下，绝大多数的实验结果符合预期就可以了；然而数学证明必须是完整、精确的，不允许有任何例外。为了证明四色定理，人们必须找到一种可以应对所有地图的通用证明方法，想发现这样的方法就需要大力发展理论体系。

四色问题最早是由弗朗西斯·格思里（Francis Guthrie）在约 170 年前提出的。但是，人们花了 100 多年，为地图着色，发展必要的理论体系，才终于有了一个确定的答案：对所有地图来说，四种颜色就够了。在此期间，甚至还留下了艰深的哲学问题。



沃尔夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）和肯尼思·阿佩尔（Kenneth Appel）在 1976 年提出了最终解决方法，该方法需要超过 1000 小时的计算机计算时间，这让人既感到欢欣鼓舞又觉得有一丝沮丧。值得一提的是，数学家至今仍然在争论：如果一个问题的解不能直接用人工检验，那么能否认为它已经被解决了？

3  趣味测试

在下图中，已经有三个国家涂上了颜色。我们如何才能用红、蓝、绿、黄这四种颜色为整幅地图着色呢？



答案在文末



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作者：[英] 罗宾·威尔逊（Robin Wilson）

译者：何生

图灵新知 2024 年 06 月 13 日 19:00 北京