费马大定理，怀尔斯的证明步骤，谷山-志村-威尔猜想，模形式与 Galois 表示，椭圆曲线

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费马大定理，怀尔斯的证明步骤，谷山-志村-威尔猜想，模形式与 Galois 表示，椭圆曲线

原创 Genawaken 王根的数学物理分享 2024 年 06 月 12 日 09:19 浙江



证明的关键步骤

安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在 1994 年给出了费马大定理的证明。这一证明基于许多复杂的数学工具，特别是椭圆曲线和模形式之间的联系。证明的核心步骤如下：

1. 谷山-志村-威尔猜想（Taniyama-Shimura-Weil Conjecture）

该猜想（现在称为模性定理）断言每一个定义在有理数域上的椭圆曲线都可以与一个模形式联系起来。具体来说，猜想声称任何半稳定椭圆曲线都是模的。

2. 由费马方程到椭圆曲线

假设存在整数 x,y,z 和 n＞2 使得  。怀尔斯和他的学生理查德·泰勒（Richard Taylor）通过构造性的方法展示了如何从假设的解出发构造出一个特殊类型的椭圆曲线，称为弗雷曲线（Freye curve），并探讨其性质。

3. 弗雷曲线与模性



怀尔斯和泰勒通过研究发现，如果假设  有整数解，那么弗雷曲线不能是模形式的。然而，根据谷山-志村-威尔猜想，所有的半稳定椭圆曲线都应该是模形式，这就产生了矛盾。

4. 模形式与 Galois 表示

怀尔斯证明过程中关键的一步是证明某些类型的椭圆曲线（特别是半稳定椭圆曲线）是模形式。他利用了模形式与 Galois 表示之间的深层联系。具体来说，他研究了模形式的 Galois 表示和椭圆曲线的 Galois 表示之间的同构关系。

5. 拓展证明与修补

怀尔斯最初的证明中有一个技术性的缺陷。经过进一步的工作和与泰勒的合作，他们修正了这个缺陷，最终完成了证明。

数学公式的具体推导

以下是一些关键公式和推导过程的摘要：

a. 弗雷曲线



b. 椭圆曲线的模性

通过研究这些曲线的导出结构，怀尔斯展示了这些曲线必须是模形式的。

c. Galois 表示

利用 Galois 表示理论，怀尔斯建立了模形式与椭圆曲线之间的关系。设 ρE,p 为椭圆曲线 E 的 p 进 Galois 表示，他证明了这些表示满足模形式的性质。

d. 矛盾的产生

假设  有解，构造出的弗雷曲线不能是模的，但根据谷山-志村猜想，所有半稳定椭圆曲线都应该是模的。由此产生矛盾。

结论

由于矛盾的产生，假设  有解是错误的。因此，费马大定理得证。

怀尔斯的证明详细内容非常复杂，涉及大量高等数学知识，包括模形式、Galois 表示、同调代数等。完整理解他的证明需要深入学习这些领域的基础理论和高级技术。

Genawaken