最近数学界最火的事莫过于 MIT 数学教授 Larry Guth 和牛津大学数学研究所教授、2022 菲尔兹奖得主 James Maynard 撰写的论文《New large value estimates for Dirichlet polynomials》,首次对数学家 Albert Ingham 在 1940 年左右关于黎曼 ζ 函数零点(黎曼假设)的经典界限做出了实质性改进。
这里我们利用了 b! 等于 b(b-1)! 的事实,然后从上到下抵消了 b 。由于 a 是整数,并且任何阶乘都是整数,因此 P 是整数。正如我们将看到的,这就是我们需要了解的有关 P 的全部内容。
现在轮到 Q 了:
右边的每个项都具有 n!/m! 形式,其中 n ≥ m 。我们之前看到,这总是为整数。这意味着 Q 是一组有限整数的和,因此 Q 也必须是整数。
因此,我们证明了,如果 a 和 b 是整数,则 P 和 Q 也必须是整数。并且,如果 P 等于 Q 加 R ,则 R 也必须是整数。那么接下来如果我们再说明 R 不是整数,那么就会出现矛盾。则我们一开始的假设 e 是有理数是有问题的。
完成傅立叶证明
从上面我们可以得出:
这是一个无穷级数,那么我们如何证明它不是整数呢?目前没有明显的解决方法,但幸运的是,傅立叶找到了一种巧妙的方法来证明无论结果是什么,它都不能是整数。首先,由于 b 是正整数,因此大于 0 ,我们可以肯定地说 R > 0 。我们能找到上限吗?让我们展开前几项,使用我们之前发现的阶乘规则,即当 n < m 时,n!/m! 的阶乘规则。第一项是: