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本帖最后由 elim 于 2024-7-21 12:59 编辑
定义:一个数\(x\)称为有限数, 如果存在某自然数\(n\)使得\(|x| < n\). 非有限数称为无穷大数.
命题:自然数皆有限数.
证明:对任意\(n(\in\mathbb{N})\), 其后继\(n'\)也是自然数,且\(n< n'\). 所以\(n\) 是有限自然数.
推论:不存在无穷大自然数.
注记:\(|S|\)表示集合\(S\)的基数, 则\(\mathbb{N}\)是无穷集可表成\(\small|\mathbb{N}|\not\in\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}.\)
\(\quad\)这意味着\(n\in\mathbb{N}\)推不出想当然的\(\displaystyle(\lim_{n\to\infty}n)\in\mathbb{N}\)即\(\mathbb{N}\)关于极限不封闭.
\(\quad\)所以(\(\mathbb{N}\)是无穷集)和(没有无穷大自然数)这两件事都是皮亚诺自然数公理
\(\quad\)的推论. 并不矛盾.
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