从 2023 年新高考全国 I 卷选择压轴题 谈人教 A 版教材中极值概念的混淆

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从 2023 年新高考全国 I 卷选择压轴题 谈人教 A 版教材中极值概念的混淆

作者 | 叶卢庆

随着 2023 年高考的尘埃落定，今年的新高考数学全国 I 卷试题成为众人关注的焦点。在此我们以全国 I 卷的选择压轴题为例，讨论人教 A 版教材中的极值概念。下面是多项选择压轴题：



正确答案是 ABC 。然而，从网上的解析来看，许多人对题目的理解出现了一定的问题（见图 1）。


图 1

针对选项 D ，即 “x=0 为 f(x) 的极小值点”，许多解析表示因为可以轻易地构造出满足题意的反例 f(x)=0 ，因此认为 x=0 不一定是 f(x) 的极值点，于是排除了 D 选项。

按照 2019 年人教 A 版选择性必修 2 中的“极值”概念，这样的解析确实是正确的。

2019 年人教 A 版选择性必修 2 ，第 5.3.2 节中，对极值的定义是：函数在极大值点处的函数值，应比它在该点附近的函数值大；函数在极小值点处的函数值，应比它在该点附近的函数值小。（见图 2）




图 2

然而，对极值的这种定义在数学理论中却并非唯一的。事实上，人教社自己编写的微积分教材中的极值定义则是：函数在极大点处的函数值，应大于或等于它在该点附近的函数值；函数在极小值点处的函数值，应小于或等于它在该点附近的函数值。（见图 3）




图 3

如果按照后一种定义，那么网络上对 D 选项的解析就不能构成反例，因为按后一种定义，对于常值函数 f(x)=0 ，x=0 仍然是 f(x) 的极小值点。

这显示了人教 A 版教材的一个缺陷：同一套教材，对于同一概念，存在两种不同的定义。这不仅对学生学习数学造成困扰，也降低了高考试题的准确度和区分度。

若我们按照人教社微积分教材中的极值定义，D 选项的正确性应该如何判断呢？事实上，我们需要更复杂的反例才能证明 D 选项的错误。例如，我们可以构造  



这样的反例，需要对函数的性质有更深入的理解，才能进行有效的构造。

我们注意到，人教社微积分教材中的极值定义，是符合大学微积分教材中通用定义的。（见图 4）


图 4：以浙江大学苏德矿等人编写的《微积分》第三版为例。（高等教育出版社）

而高中数学教材分成了两派，人教 A 版选择性必修二与北师大版教材、人教 B 版教材、鄂教版教材的定义相同，而人教社微积分教材的定义则与苏教版教材、湘教版教材的定义一致。（见图 5、6、7、8）

派别 1 ：


图 5 ：北师大版上的极值定义


图 6 ：人教 B 版上的极值定义

派别 2 ：


图 7 ：湘教版上的极值定义


图 8 ：苏教版上的极值定义

我支持人教社微积分教材及大多数大学微积分教材中的极值定义。其合理性可以从最值的定义得到启示。所有教材均认同“函数可以在不止一个点处取得最大（小）值”。既然我们接受这样定义函数的最值，那么我们对极值的理解也应保持一致，即极值点处的函数值可以等于在极值点附近的函数值，毕竟，所谓的极值，只不过是局部的最值而已。这样，我们能更好地统一极值和最值的概念，提高教学的连贯性和严谨性。

极值的概念在全国高考中一直是重点考察对象，我强烈建议各版高中数学教材能够统一对极值的定义，以避免给学生带来困惑，同时提高高考试题的公正性和准确性。

叶卢庆 好玩的数学 2023-06-22 07:05 发表于江西