n 维球体就是实心单位圆盘(平面上到原点的距离不超过一个单位的点的全体)的概念或实心单位球体(三维空间中到原点的距离不超过一个单位的点的全体)的概念在 n 维空间中的推广。对于二维平面的情形,这个定理意味着如果你把单位圆盘上的每一个点光滑地移到另外某个点处,把非常靠近的点移到同样非常靠近的点,那么总有一个点在移动前后的位置不变。
不动点定理及其直接推广有很多推论。例如,你小心平稳地搅拌杯子里的咖啡,那么某一滴咖啡,或者说某个分子,最终会停在它的起始位置上。(注意,从拓扑意义上说,杯中的咖啡是一个三维球体,通过搅拌,你就把咖啡中的每一个分子从这个三维球体的某个点 X 移到了某个点 Y ,这就是我们所说的“把一个空间映射到自身”的意思。)还有一个不太明显的例子:把一张纸放在桌子上,用记号笔在桌子上画出它的轮廓。现在把这张纸揉皱,但不要撕破它,然后把它放进画出的轮廓里。这张变皱的纸上存在(至少)一个点,一定在画出的这张纸的轮廓中这个点的正上方。
19 世纪后期,利奥波德·克罗内克(Leopold Kronecker,1823-1891)强烈反对格奥尔格·康托尔(Georg Cantor ,1845-1918)把“实无穷”引入集合论中,你可以称克罗内克为前直觉主义者。克罗内克认为,像这样的不可数集合不属于数学,数学即使没有它们也能发展,它们把无用且不必要的形而上学的包袱带到了数学中,数学应该根植于计数、算法和计算。
正是这个思想学派被布劳威尔带到 20 世纪,传播给后来的数学家,例如美国数学家埃里特·毕晓普(Errett Bishop ,1928-1983)。布劳威尔的学说被称为“直觉主义”,毕晓普的学说被称为“构造主义”。这些思想现在都被称为“构造主义”,它们在美国的倡导者是美国柯朗数学科学研究所的哈罗德·爱德华兹(Harold M. Edwards ,1936-)教授。爱德华兹教授在其 2004 年的著作《构造数学论著集》(Essays in Constructive Mathematics)中很好地说明了这种方法(事实上,他的其他著作也是如此)。