刘卓军：简与繁和繁与简

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刘卓军：简与繁和繁与简

刘卓军 中国科学院数学与系统科学研究院 2023-04-27 10:48 发表于北京

在承担复杂任务和进行研究、分析及解决问题的过程中，如果能有效地对问题做简化，在尽可能化简的基础上去完成任务、达到或超出预期，这是非常有价值和有意义的。所以，化繁为简是做事情普遍受到追崇的方式和步骤。

一． 繁与简是相对的，都有用武之地

然而，这并不是说要完全摒弃化简为繁的可能性和努力。究其原因，首先，并不存在衡量繁与简的绝对“标准”，人们对于繁与简的主观感受往往呈多样性。比如，读一篇外文文章，其中总会有一些生词。是先从头到尾把生词挑出来，通过查字典逐一认识理解，然后再通读文章；还是一上来就从头到尾开始读文章，读到不认识的生词时去查字典，接着重复这样的作法继续往下读呢？这两种方式，哪一种更可取？似乎很难说清楚是前者简单还是后者简单。真正做起来，是喜欢前者还是喜欢后者，完全因人而异。此处不妨提及一下，我们数学所的老所长、著名数学家华罗庚选择的是后者。因为，他的体会是，上来就往下读，通过上下文的理解，一些生词的意思有可能猜出来，这样就能免除一些不必要的查字典的繁杂工作。

其次，即便对某些问题的繁简形式之看法多数人有着相同的认识，由于技术进步因素的助力，简单的形式也未必就是应当首选的。例如，如何做整数的乘法，这是小学生都知道的事。不过要是延伸一下，如何做两个方形矩阵的乘法呢？这类问题也不难，中学生完全可以理解和处理。但怎样把矩阵乘法做得很有效就是挑战问题了。比如，两个 2 阶整数方阵的矩阵乘法，如果不使用技巧需要借助 8 个关于整数的简单乘法来完成。然而，一位德国数学家斯特拉森（Strassen）在 1969 年指出，可以用 7 个数的乘法来实现 2 阶方阵的矩阵乘法，只是根据其中使用的技巧要把参与到数的乘法之表达形式变得复杂一些。一般民众或许会想，数学家很奇特，把数的乘法数目由 8 变到 7 也没有什么了不起呀，关键是还要把简单的形式变换成繁杂的形式，值得吗？值得！因为 2 阶方阵的斯特拉森算法可以用来实现 4 阶、8 阶、16 阶等方阵的矩阵乘法，改进的效果分别是 64 次数乘变成 49 次数乘，512 次数乘变成 343 次数乘，4096 次数乘变成 2401 次数乘等等，当然还不止这些。这就体现出了数学研究的魅力和神奇所在。

二． 数学研究充满着繁与简和简与繁的变换问题

2022 年 10 月，上了《自然》（Nature）杂志封面的一篇文章，报道了研发人员在取得 AlphaGo 和 AlphaZero 这些社会广泛知晓的辉煌战绩之后，又开发出了新的 AlphaTensor 人工智能算法，该算法以机器学习的方式在数学问题的处理上取得了比斯特拉森算法效果更好的效果：比如，在作 4 阶方阵乘法时，不必用 49 次数乘而用 47 次数乘就可以了。当社会大众知晓和理解了很多信息技术，如编码、密码、图像处理等都会大量地以矩阵运算为工具之后，很自然地要对 AI 算法的出色表现而欢呼雀跃了。不幸的是或者幸运的是，这不是事情的终结，很快一组奥地利研究人员在网上发表了文章宣布，他们开发出了以 95 次数乘实现 5 阶方阵的矩阵乘法，这比 AlphaTensor 算法的 96 次数乘又有了提高。人机大战，轮番提升。一方面，结果的进步是人类的福音，另一方面，为取得结果的更大的进步，则是人类智力、技能、技巧的新的挑战。其实，说到底，人机大战本质上是人类智力的自我“擂台赛”。不断突破人类智力和智慧的极限是人类自身生存和发展的需要，将涉及到形形色色的因素，包括经济的发展、文明的进步、教育的开展、生活的改善等等。这其中回避不了要客观理性务实地看待简与繁和繁与简的关系问题，以及对之采取什么样的观念和理念的问题。

三． 繁与简是“服务”于目的的手段和方式

起重机的发明使得人能做到举起千斤之物不再是神话，快速交通工具的发明使得人实现坐地日行 8 万里不再是遥不可及，计算机的发明和出现以及计算机科学和技术的进步使得人造出了在体现智力的某些标志性方面胜过人类的神器，并引发了人类对自身未来发展的兴奋和忧虑。无论怎样，我们都能从中品味到化繁为简和化简为繁合力为之而形成的无比威力！

社会不会忘记，在进入 21 世纪之前的几年，全世界都曾被千年虫问题所困扰，担心新世纪开启时，人们第一个见到的不是曙光而是慌张。当时的技术和经济条件，加之人们对社会进步之速度的认识过于保守，使得在一个不起眼的计算机系统的时间表述实现问题上采取了简化方式，比如 1958 年 3 月 8 日简记成 58-3-8 ，这是当时完全可以接受的表述。然而在进入新世纪后，这个表述是指 1958 年还是 2058 年？为了避免混乱，全世界花费了巨大的代价来改造有隐患的各类系统，去消除所谓的千年虫问题。本来，初心是节俭、节约甚或是高效，最终却使社会付出了巨大成本去做“纠偏”。繁与简和简与繁就是这样深刻地影响着我们的周遭的，人们对之难道不应予以高度重视吗 ？

考察简与繁及其相互转换的问题会让我们自然联想到简单（事物）和复杂（事物）的概念，所以简与繁也是人类时时处处离不开的基本概念。在面对很多事情需要解决的时候，除非有时间先后的约束和要求，很多人喜欢先解决简单的容易的，然后再碰复杂的困难的。这或许是人们在参加考试时的普遍感受。考试卷子的出题者往往也是这样设计的，简单的题目放在前面，而困难的题目放在后面。这样做当然是有“共识”基础的：先把外围扫净，然后集中力量攻克难点。但现实中也却有人先从难问题着手，因为先拿下了困难问题，其它问题就都不在话下了。

四． 效果是繁与简的出发点和落脚点

那么到底应采取那样一种方式，实践中并没有一定之规。解决问题的方案，包括处理问题顺序的选择，从“道理”上讲要依据问题解决效果之综合效益最大化的原则来决定。

在允许的条件下，一项任务的完成用时越短越好，这是显而易见的。说到条件允许，无非要考虑资源的占用是否在预算和预计之内，特别地不能挤占下一阶段事情处理所需的资源。按照这样的方式，先行上手要处理的问题相对来说可能简单容易也可能复杂困难，无论简单容易与否，必要时都有问题可否进行转换的事情需要考虑。前面列举的矩阵乘法问题，虽然简单也比较容易，但为了做得更有效一点，以稍微繁杂一点的表达形式来换取只使用7次数乘而不是8次数乘的做法是值得的。这里一个很重要的理由是，一个很基本的经常要用到的“操作”哪怕能真正改进一点点，都是有意义的，带给社会的重大价值都是不可估量的。

当面对的问题很复杂时，进行化简就是必须的。根据系统的观点和对于物理世界及社会环境的认识积累，以还原论的方式对问题做分解是常用的手段。

人们对简单的事物更容易认识、理解和处置，这是化繁为简的根本原因和动力所在。与此同时，社会的发展和技术的进步，使得我们可以“自动化”地处理很多事物。一度被普遍认定为非常复杂而人力无法应对的问题不再不可驾驭。这正是珍视化简为繁的“逆向”思维及行动的最好理由。繁杂不可怕，因为有数学工具的助力，有计算机技术的支撑，我们将迎来的不是人机大战的风暴，而是人机共栖的多彩时代。

（本文的主要内容曾发表在中关村杂志 2022 年第 12 期上，此处做了文字修订）

来源：中关村杂志

波斯猫猫

对于数学，当繁则繁，当简则简，繁简得当。