敢峰先生和我所构造的图有什么作用？

雷明85639720

敢峰先生和我所构造的图有什么作用？
雷  明
（二○二一年八月三日）

敢峰先生和我分别都用转型绎演的方法各自构造了一个图（如图1和图2）。敢峰的图叫做“终极图”，我的图还没有名，是否叫做L—图就可以了。

1、两个图适应性的比较：
这两个图都是具体的极大图构形，敢峰的“终极图”是含有经过了围栏顶点的环形链的构形，雷明的L—图是不含有经过围栏顶点的环形链的构形。敢峰的图只能用断法交换法进行解决，但不能用转型交换法进行解决。但在使用转型交换法的过程中，既可以反映出含有经过了三个围栏顶点的环形链的构形的情况，也可以反映出只经过了两个围栏顶点的环形链的构形情况，并且随时可以改用断交换法进行解决。而雷明的L—图则只能用转型交换法进行解决，解决的过程中不但可以反映出不含有经过围栏顶点的环形链的构形的情况，也可以反映出含有经过了围栏顶点的构形的情况。并且也是两种经过了围栏顶点的环形链的情况都反映了出来，也都可以改用断链交换法进行解决。从这一个意义上说，雷明的L—图要比敢峰的“终极图”的适应性更大一些。
现在，再回过头来看一下1890年赫渥特构造的H—图。该图只是反映了含有经过了两个围栏顶点的环形链的情况，是可以用断链交换法解决问题的，同时也可以用转型交换法解决问题。该图转型时，无论是从那个方向进行，都是一次转型就转化成了可以连续的移去两个同色的可约构形。从这个意义上说，赫渥特的图代表性最差，只反映一种情况；敢峰的终极图（即埃雷拉的E—图）较好一些，但仍不能代表全部情况；只有雷明的L—图的代表性最强，能够代表各种情况下的不可避免的发生了颜色冲突的5—轮构形的情况。
2、构造这两个图的意义和对四色猜测的证明：
证明四色猜测必须解决颜色冲突的问题，解决颜色冲突的问题就必须用能够代表一般的、顶点数不确定的、不是具体图的、非极大的平面图的构形去进行证明。如我们证明有环形链和无环形链的构形的可约性时所用的图3、图4和图5，就是能够代表一般的、顶点数不确定的、不具体的、非极大的平面图。

解决了这些颜色冲突问题的构形的4—着色问题后，就必须在平面图范围内，寻找与颜色冲突问题的构形相对应的、顶点数一定的、具体的极大平面图，以证明极大平面图中确实存在这样的具体构形。
通过转型演绎的方法可以构造出敢峰先生的“终极图”这个有经过了围栏顶点的环形链的构形，以及构造出我的这个无经过围栏顶点的环形链的L—图构形。这是这两个不同类型的最基本的颜色冲突构形的模型。
这两个类型的构形是可4—着色的，那么，在这两个已经4—着色的构形的基础上经“加顶和加边”所得到的顶点数多于这两个构形的顶点数的任何极大平面图中，所增加的顶点一定都是可以着上图中已用过的四种颜色之一的；以及在这两个已经4—着色的构形的基础上经“去顶和减边”所得到的顶点数小于这两个构形的顶点数的任何极大平面图的色数，也只会减少而不会再增加。这就证明了任何极大平面图的四色猜测是正确的。也即证明了任何地图的四色猜测是正确的。
同样的道理，已经用四种颜色着色的任何极大的平面图经“去顶”或“减边”所得到的任意（非极大）的平面图的色数，也只会减少而也不会再增加。这也就证明任何平面图的四色猜测是正确的。
3、建议敢峰先生对其“终极图”改名：
敢峰先生的图名叫“终极图”，意义非常的不明确。“终极”二字说明什么问题呢？是说明解决了这个图的可4—着色后，四色问题就解决了吗？不是的，因为还有不经过围栏顶点的环形链的构形的可约性没有得到解决。名不符实，这是建议把“终极图”改名的原因之一。相反的，解决了我的L—图的可约性的问题，也就能够反映出可以解决所有不可避免的具有双环交叉链的5—轮颜色冲突构形的可4—着色问题。这是建议敢峰先生对其“终极图”改名的原因之二。的确，敢峰先生和雷明构造的这两个图的解决办法，是能够代表所有的、不可避免的、具有双环交叉链的5—轮颜色冲突构形的解决办法的。

雷  明
二○二一年八月三日于长安

雷明85639720

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雷明85639720

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