对n至2n间素数个数大约等于n以内素数个数的思考

yangchuanju · 发表于 2021-6-29 16:45

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-6-29 17:03 编辑

（接上楼）
100万内共有78498个素数，分成10个相等区间，各区间素数个数分别为：
区间素数个数区间个数占比%
1 9592 9592 12.2194
2 17984 8392 10.6907
3 25997 8013 10.2079
4 33860 7863 10.0168
5 41538 7678 9.7811
6 49098 7560 9.6308
7 56543 7445 9.4843
8 63951 7408 9.4372
9 71274 7323 9.3289
10 78498 7224 9.2028
总个数 78498 78498 100
各个小区间素数个数一路逐渐减少，不再有波动；最大占比是最小占比的133%。

1000万内共有664579个素数，分成10个相等区间，各区间素数个数分别为：
区间素数个数区间个数占比%
1 78498 78498 11.8117
2 148933 70435 10.5984
3 216816 67883 10.2144
4 283146 66330 9.9808
5 348513 65367 9.8359
6 412849 64336 9.6807
7 476648 63799 9.5999
8 539777 63129 9.4991
9 602489 62712 9.4363
10 664579 62090 9.3428
总个数 664579 664579 100
各个小区间素数个数一路逐渐减少；最大占比是最小占比降低到126%。

1亿内共有5761455 个素数，分成10个相等区间，各区间素数个数分别为：
区间素数个数区间个数占比%
1 664579 664579 11.5349
2 1270607 606028 10.5187
3 1857859 587252 10.1928
4 2433654 575795 9.9939
5 3001134 567480 9.8496
6 3562115 560981 9.7368
7 4118064 555949 9.6495
8 4669382 551318 9.5691
9 5216954 547572 9.5041
10 5761455 544501 9.4508
总个数 5761455 5761455 100
各个小区间素数个数一路逐渐减少；最大占比是最小占比降低到122%。

10^14内共有3204941750802个素数（天山草数据），分成10个相等区间，各分区间素数个数一路逐渐减少；
各分区素数的最大占比是最小占比降低到10.7979/9.6947=111%。

10^23内共有1925320391606803968923个素数，分成10个相等区间，各分区间素数个数一路逐渐减少；
各分区素数的最大占比是最小占比降低到0.1046/0.0982=107%。

指数逐渐增大，各个分区的素数的最大占比与最小占比之比会逐渐趋近于1，亦即各个分区素数个数趋近于相等。

白新岭 · 发表于 2021-6-29 19:26

100段统计（累计各段
1 25 25
2 45 20
3 60 15
4 75 15
5 91 16
6 104 13
7 119 15
8 132 13
9 146 14
10 159 13
11 174 15
12 185 11
13 199 14
14 209 10
15 225 16
16 236 11
17 250 14
18 261 11
19 272 11
20 284 12
21 297 13
22 306 9
23 320 14
24 334 14
25 343 9
26 353 10
27 367 14
28 380 13
29 391 11
30 401 10
31 412 11
32 421 9
33 431 10
34 445 14
35 455 10
36 468 13
37 480 12
38 491 11
39 501 10
40 511 10
41 525 14
42 533 8
43 548 15
44 556 8
45 566 10
46 577 11
47 588 11
48 599 11
49 606 7
50 620 14
51 631 11
52 641 10
53 650 9
54 659 9
55 671 12
56 683 12
57 694 11
58 703 9
59 718 15
60 724 6
61 735 11
62 745 10
63 757 12
64 771 14
65 778 7
66 788 10
67 797 9
68 808 11
69 819 11
70 831 12
71 839 8
72 848 9
73 858 10
74 866 8
75 876 10
76 890 14
77 901 11
78 910 9
79 919 9
80 928 9
81 938 10
82 947 9
83 960 13
84 968 8
85 975 7
86 986 11
87 998 12
88 1008 10
89 1020 12
90 1028 8
91 1038 10
92 1049 11
93 1059 10
94 1069 10
95 1083 14
96 1089 6
97 1101 12
98 1111 10
99 1122 11
100 1130 8
这是把10000内的素数分成100段的统计表，最开始与最末的变化明显，也就是说，安开方数划分段落，则前后段素数的个数有明显变化，可以分析100万（划分成1000段），或者1亿（或分成1万段）。变化明显。

白新岭 · 发表于 2021-6-29 20:11

白新岭发表于 2021-6-29 19:26
100段统计（累计各段
1 25 25
2 45 20

目的让它达到质变的条件，以自然数的平方增长，素数密度以50%的速度衰减（可成为半衰期）。10000内的素数个数，到1亿时，素数密度才减半。9999*10000至1亿间的素数大概为10000内的素数一半。

yangchuanju · 发表于 2021-6-29 21:05

白新岭发表于 2021-6-29 19:26
100段统计（累计各段
1 25 25
2 45 20

第1万至第100万中素数个数
x pi(x) 各万个数二阶差
1d4 1229 1229 ——
2d4 2262 1033 196
3d4 3245 983 50
4d4 4203 958 25
5d4 5133 930 28
6d4 6057 924 6
7d4 6935 878 46
8d4 7837 902 -24
9d4 8713 876 26
10d4 9592 879 -3
11d4 10453 861 18
12d4 11301 848 13
13d4 12159 858 -10
14d4 13010 851 7
15d4 13848 838 13
16d4 14683 835 3
17d4 15497 814 21
18d4 16342 845 -31
19d4 17170 828 17
20d4 17984 814 14
21d4 18807 823 -9
22d4 19618 811 12
23d4 20437 819 -8
24d4 21221 784 35
25d4 22044 823 -39
26d4 22837 793 30
27d4 23642 805 -12
28d4 24432 790 15
29d4 25224 792 -2
30d4 25997 773 19
31d4 26800 803 -30
32d4 27608 808 -5
33d4 28404 796 12
34d4 29182 778 18
35d4 29977 795 -17
36d4 30757 780 15
37d4 31522 765 15
38d4 32300 778 -13
39d4 33067 767 11
40d4 33860 793 -26
41d4 34614 754 39
42d4 35390 776 -22
43d4 36162 772 4
44d4 36941 779 -7
45d4 37706 765 14
46d4 38458 752 13
47d4 39223 765 -13
48d4 40005 782 -17
49d4 40766 761 21
50d4 41538 772 -11
51d4 42291 753 19
52d4 43061 770 -17
53d4 43825 764 6
54d4 44572 747 17
55d4 45322 750 -3
56d4 46072 750 0
57d4 46819 747 3
58d4 47588 769 -22
59d4 48351 763 6
60d4 49098 747 16
61d4 49861 763 -16
62d4 50612 751 12
63d4 51341 729 22
64d4 52074 733 -4
65d4 52831 757 -24
66d4 53564 733 24
67d4 54309 745 -12
68d4 55063 754 -9
69d4 55815 752 2
70d4 56543 728 24
71d4 57306 763 -35
72d4 58029 723 40
73d4 58789 760 -37
74d4 59531 742 18
75d4 60238 707 35
76d4 60978 740 -33
77d4 61733 755 -15
78d4 62468 735 20
79d4 63206 738 -3
80d4 63951 745 -7
81d4 64683 732 13
82d4 65416 733 -1
83d4 66161 745 -12
84d4 66890 729 16
85d4 67617 727 2
86d4 68342 725 2
87d4 69095 753 -28
88d4 69823 728 25
89d4 70555 732 -4
90d4 71274 719 13
91d4 72026 752 -33
92d4 72734 708 44
93d4 73474 740 -32
94d4 74187 713 27
95d4 74907 720 -7
96d4 75618 711 9
97d4 76350 732 -21
98d4 77067 717 15
99d4 77777 710 7
100d4 78498 721 -11
二阶差（第k+1万中素数个数减第k万中素数个数）有42个负值，各万中的素数个数波动厉害；
第1万至第100万中有25对素数个数相等的，刚好占一半；各亿中的素数个数从最大1229个波动式地减少到721个（最小值707）。

yangchuanju · 发表于 2021-6-29 21:06

第1百万至第100百万（1亿）中素数个数
x pi(x) 各百万个数二阶差
1d6 78498 78498 ——
2d6 148933 70435 8063
3d6 216816 67883 2552
4d6 283146 66330 1553
5d6 348513 65367 963
6d6 412849 64336 1031
7d6 476648 63799 537
8d6 539777 63129 670
9d6 602489 62712 417
10d6 664579 62090 622
11d6 726517 61938 152
12d6 788060 61543 395
13d6 849252 61192 351
14d6 910077 60825 367
15d6 970704 60627 198
16d6 1031130 60426 201
17d6 1091314 60184 242
18d6 1151367 60053 131
19d6 1211050 59683 370
20d6 1270607 59557 126
21d6 1329943 59336 221
22d6 1389261 59318 18
23d6 1448221 58960 358
24d6 1507122 58901 59
25d6 1565927 58805 96
26d6 1624527 58600 205
27d6 1683065 58538 62
28d6 1741430 58365 173
29d6 1799676 58246 119
30d6 1857859 58183 63
31d6 1915979 58120 63
32d6 1973815 57836 284
33d6 2031667 57852 -16
34d6 2089379 57712 140
35d6 2146775 57396 316
36d6 2204262 57487 -91
37d6 2261623 57361 126
38d6 2318966 57343 18
39d6 2376402 57436 -93
40d6 2433654 57252 184
41d6 2490756 57102 150
42d6 2547620 56864 238
43d6 2604535 56915 -51
44d6 2661384 56849 66
45d6 2718160 56776 73
46d6 2775053 56893 -117
47d6 2831693 56640 253
48d6 2888144 56451 189
49d6 2944531 56387 64
50d6 3001134 56603 -216
51d6 3057494 56360 243
52d6 3113843 56349 11
53d6 3170052 56209 140
54d6 3226203 56151 58
55d6 3282200 55997 154
56d6 3338330 56130 -133
57d6 3394435 56105 25
58d6 3450336 55901 204
59d6 3506314 55978 -77
60d6 3562115 55801 177
61d6 3618045 55930 -129
62d6 3673600 55555 375
63d6 3729306 55706 -151
64d6 3785086 55780 -74
65d6 3840554 55468 312
66d6 3896123 55569 -101
67d6 3951767 55644 -75
68d6 4007342 55575 69
69d6 4062674 55332 243
70d6 4118064 55390 -58
71d6 4173373 55309 81
72d6 4228658 55285 24
73d6 4284089 55431 -146
74d6 4339254 55165 266
75d6 4394304 55050 115
76d6 4449611 55307 -257
77d6 4504535 54924 383
78d6 4559544 55009 -85
79d6 4614444 54900 109
80d6 4669382 54938 -38
81d6 4724409 55027 -89
82d6 4779430 55021 6
83d6 4834317 54887 134
84d6 4889139 54822 65
85d6 4943731 54592 230
86d6 4998470 54739 -147
87d6 5053180 54710 29
88d6 5107832 54652 58
89d6 5162565 54733 -81
90d6 5216954 54389 344
91d6 5271659 54705 -316
92d6 5326237 54578 127
93d6 5380681 54444 134
94d6 5435104 54423 21
95d6 5489749 54645 -222
96d6 5544201 54452 193
97d6 5598565 54364 88
98d6 5652996 54431 -67
99d6 5707123 54127 304
100d6 5761455 54332 -205
二阶差（第k+1百万中素数个数减第k百万中素数个数）有25个负值，各百万中的素数个数波动厉害；
第1百万至第100百万中没有素数个数相等的；各亿中的素数个数从最大78498个波动式地减少到54332个（最小值54127）。

yangchuanju · 发表于 2021-6-29 21:07

第1亿至第100亿中素数个数
x pi(x) 各亿个数二阶差
1*10^8 5761455 5761455 ——
2*10^8 11078937 5317482 443973
3*10^8 16252325 5173388 144094
4*10^8 21336326 5084001 89387
5*10^8 26355867 5019541 64460
6*10^8 31324703 4968836 50705
7*10^8 36252931 4928228 40608
8*10^8 41146179 4893248 34980
9*10^8 46009215 4863036 30212
10*10^8 50847534 4838319 24717
11*10^8 55662470 4814936 23383
12*10^8 60454705 4792235 22701
13*10^8 65228333 4773628 18607
14*10^8 69985473 4757140 16488
15*10^8 74726528 4741055 16085
16*10^8 79451833 4725305 15750
17*10^8 84163019 4711186 14119
18*10^8 88862422 4699403 11783
19*10^8 93547928 4685506 13897
20*10^8 98222287 4674359 11147
21*10^8 102886526 4664239 10120
22*10^8 107540122 4653596 10643
23*10^8 112184940 4644818 8778
24*10^8 116818447 4633507 11311
25*10^8 121443371 4624924 8583
26*10^8 126062167 4618796 6128
27*10^8 130670192 4608025 10771
28*10^8 135270258 4600066 7959
29*10^8 139864011 4593753 6313
30*10^8 144449537 4585526 8227
31*10^8 149028641 4579104 6422
32*10^8 153600805 4572164 6940
33*10^8 158165829 4565024 7140
34*10^8 162725196 4559367 5657
35*10^8 167279333 4554137 5230
36*10^8 171827136 4547803 6334
37*10^8 176369517 4542381 5422
38*10^8 180906194 4536677 5704
39*10^8 185436625 4530431 6246
40*10^8 189961812 4525187 5244
41*10^8 194481069 4519257 5930
42*10^8 198996103 4515034 4223
43*10^8 203507248 4511145 3889
44*10^8 208013454 4506206 4939
45*10^8 212514323 4500869 5337
46*10^8 217011319 4496996 3873
47*10^8 221504167 4492848 4148
48*10^8 225991743 4487576 5272
49*10^8 230475545 4483802 3774
50*10^8 234954223 4478678 5124
51*10^8 239429993 4475770 2908
52*10^8 243902342 4472349 3421
53*10^8 248370960 4468618 3731
54*10^8 252834065 4463105 5513
55*10^8 257294520 4460455 2650
56*10^8 261751864 4457344 3111
57*10^8 266206294 4454430 2914
58*10^8 270655552 4449258 5172
59*10^8 275101551 4445999 3259
60*10^8 279545368 4443817 2182
61*10^8 283984956 4439588 4229
62*10^8 288422869 4437913 1675
63*10^8 292856421 4433552 4361
64*10^8 297285198 4428777 4775
65*10^8 301711468 4426270 2507
66*10^8 306137611 4426143 127
67*10^8 310558733 4421122 5021
68*10^8 314977166 4418433 2689
69*10^8 319391721 4414555 3878
70*10^8 323804352 4412631 1924
71*10^8 328215206 4410854 1777
72*10^8 332620900 4405694 5160
73*10^8 337024801 4403901 1793
74*10^8 341426904 4402103 1798
75*10^8 345826612 4399708 2395
76*10^8 350221825 4395213 4495
77*10^8 354615116 4393291 1922
78*10^8 359006517 4391401 1890
79*10^8 363395981 4389464 1937
80*10^8 367783654 4387673 1791
81*10^8 372168766 4385112 2561
82*10^8 376549859 4381093 4019
83*10^8 380930729 4380870 223
84*10^8 385307831 4377102 3768
85*10^8 389682427 4374596 2506
86*10^8 394055910 4373483 1113
87*10^8 398425675 4369765 3718
88*10^8 402793457 4367782 1983
89*10^8 407159590 4366133 1649
90*10^8 411523195 4363605 2528
91*10^8 415885628 4362433 1172
92*10^8 420243162 4357534 4899
93*10^8 424603409 4360247 -2713
94*10^8 428958595 4355186 5061
95*10^8 433311792 4353197 1989
96*10^8 437663672 4351880 1317
97*10^8 442014876 4351204 676
98*10^8 446362736 4347860 3344
99*10^8 450708777 4346041 1819
100*10^8 455052511 4343734 2307
二阶差（第k+1亿中素数个数减第k亿中素数个数）有一个负值；
第1亿至第100亿中没有发现素数个数相等的；各亿中的素数个数从576万逐渐减少到434万。

yangchuanju · 发表于 2021-6-30 05:47

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-6-30 05:50 编辑

第1亿——第10000亿中素数个数变化分析
在第1亿至第100亿中的二阶差仅有一个负值；但在第1亿至第10000亿中的二阶差为负值多达4766个，占了将近一半；其中还有许多连续为负的（连续减少的）；
在第1亿至第100亿中素数个数基本上是一路逐渐减少无波动；但在第101亿至第10000亿中素数个数明显变成波动式地减少到3620087，最小值出现在第9971亿中，素数个数为3616925。
在第1亿至第100亿中没有发现素数个数相等的；但在第1亿至第10000亿中确有179组素数个数相等的亿；其中有4组素数个数相等的“3个亿”：
素数个数亿号1 亿号2 亿号3
3628722 9273*10^8 9282*10^8 9301*10^8
3637977 8600*10^8 8616*10^8 8662*10^8
3673129 6642*10^8 6676*10^8 6705*10^8
3708299 5129*10^8 5162*10^8 5165*10^8

这恐怕就是天山草大师认为的要看变化规律不宜分得过细的原因吧！

天山草 · 发表于 2021-7-1 10:10

本帖的楼主在 1# 楼说了，既然等长区间内的素数个数趋于相同，为啥说素数越来越稀呢？其原因在于：

出现素数的概率趋于相同和这个概率越来越小（即素数越来越稀）是两个概念。

在 0 至 10^14 这一区间或它的十分之一区间，任意选一个整数，它是素数的概率约等于 3204941750802/10^14 =0.0320494175，

在 0 至 10^23 这一区间或它的十分之一区间，任意选一个整数，它是素数的概率约等于 1925320391606803968923/10^23 =0.0192532039。

这表明 n 越大，出现素数的概率越小，也就是说素数越稀少。

但是原命题还是正确的！即：对于自然数 n，将 0 至 n 从小到大分成相等的几段，比如 10 段，则各段所含素数个数随着 n 的增大而趋于相同。

这个命题也可以写成：对于自然数 2n，将 0 至 2n 从小到大分成相等的两段 0 至 n 和 n 至 2n，则前后两段所含素数个数随着 2n 的增大而趋于相同。

兼听明偏听暗 · 发表于 2021-7-2 08:44

如果小学生知道素数、偶数的意思，也能明白哥猜，简单极了，但是，说一个数是素数，却不简单，威尔森定理说明，哥猜中的素数，一个靠假设，一个靠推理，是无法证明的。
试图想用：确认两个素数的方法，证明哥猜的，威尔森说：不可能。

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对n至2n间素数个数大约等于n以内素数个数的思考

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