逆向思维集合论方法证明“哥猜”（中等篇幅）

雷明85639720

逆向思维集合论方法证明“哥猜”
雷  明
（二○二一年五月二十三日）

证明哥德巴赫猜想最关键的一步就是证明大于等于6的偶数集合中的每一个元素是否都能写成两个奇素数的和。虽然不可能把无穷多的偶数都写成两个奇素数的和，但可以证明奇素数集合中的每一个元数与其它所有元素相加的和（包括自身相加的一次在内）就是所有大于等于6的偶数的集合。这样也就可以解决问题。
1、奇素数集合是一个可数集合
集合论里有判定可数集合的定理：“集合A为可数集合的充分与必要条件是可以把A的元素编号为
A＝{ a1，a2，a3，……，ai，…… }”［1］
这个编号ｉ就是集合A到自然数集合N间的一一对应。
无穷的奇素数集合Q＝｛q|q是所有的奇素数｝中的元素也是可以按其数值的大小进行编号的，所以奇素数集合是一个可数集合。这就在全体奇素数集合Q中的元素qi与自然数集合N中的元素n之间建立起了一一对应的关系，所以也就有Q与N等势，即有Q～N。这是从Q中的元素可以进行编号的角度出发得出了Q是可数集合并与自然数集合N等势的结论。
再根据可数集合的定义：“若集合A与自然数集合N等势，即A～N，则称A为可数集合”［1］也可知道，全体奇素数的集合Q也应是可数集合。Q既是可数集合，那么也就应有Q～N。这又是从可数集合的定义的角度出发得出了Q是可数集合并与自然数集合N等势的结论。
还有，因为“自然数集合是最简单的无穷集合”［1］，又因为“若集合A与自然数集合N等势，即A～N，则称A为可数集合”［1］且“因为自然数集合N有N～N”［1］（集合等势的反射性），“可知自然数集合也是可数集合”［1］。因为全奇素数的集合Q和自然数集合N都是可数集合，所以也应有Q～N的关系。这又是从另外一个角度出发再一次得出了Q是可数集合并与自然数集合N等势的结论。
以上分别是从三个不同的角度出发，都说明了全体奇素数的集合Q是一个可数集合并与自然数集合N等势。
由可数集合的定义和集合等势的性质（反射性，对称性，传递性）可知：“若A、B为可数集合，则A～B。因此，所有可数集合组成一个类，这个类里的集合的势都是相同的，用α表示”［1］。
2、两两奇素数相加的结果
把奇素数集合Q＝{ 3，5，7，……}中的每一个元素qi都与奇素数集合Q中的所有的元素相加一次，包括它自身相加的一次qi＋qi在内，即可得到可数个可数集合Ki，即：
用Q中的第一个元素3与Q中的所有的元素都相加一次，得到第一个可数集合K1
K1＝{ 3＋3，3＋5，3＋7，3＋11，3＋13，3＋17，3＋19，…… }
＝{ 6，8，10，14，16，20，22，…… }
用Q中的第二个元素5与Q中的所有的元素也都相加一次，得到第二个可数集合K2
K2＝{ 5＋3，5＋5，5＋7，5＋11，5＋13，5＋17，5＋19，…… }
＝{ 8，10，12，16，18，20，22，24，…… }
再用Q中的第三个元素7与Q中的所有的元素都相加一次，得到第三个可数集合K3
K3＝{ 7＋3，7＋5，7＋7，7＋11，7＋13，7＋17，7＋19，…… }
＝{ 10，12，14，16，18，20，24，26，…… }
……………………
用Q中的第i个元素qi与Q中的所有的元素都相加一次，就可得到第i个可数集合Ki
Ki＝{ qi＋3，qi＋5，qi＋7，qi＋11，qi＋13，qi＋17，…… }
再根据集合论里的定理：“有限个或可数个可数集合的并集仍为可数集合”［1］可知，这可数个可数集合Ki的并集A
A＝K1∪K2∪K3∪，……，∪Ki，……
仍是一个可数集合。由于“集合里若干个相同的元素只能算作一个，也只用一个符号表示出来”［1］和“集合里的元素是不重复出现的”［1］可知，虽然各Ki集合之中都有数值相同的元素，但在其并集A中却只能算作一个，只能用一个符号表示出来。即有
A＝{ 6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，…… }
这个并集A里的元素也是可以按其数值的大小，从小到大依次将其编号为
A＝{ a1，a2，a3，……，ai，…… }
的。可见，并集A也是一个可数集合，并与自然数集合N也应有一一对应的关系，即有A～N。
由于奇素数集合Q中的元素都是大于等于3的奇数，且并集A中的每一个元素ai都是由奇素数集合Q中的两个元素qi、qj相加的结果，所以我们所得到的这个并集A中的元素也都是大于等于6的偶数。
3、前面所得到的并集A就是所有大于等于6的偶数集合
现在，关键的就是要证明这个并集A是否就是所有大于等于6 的偶数的集合B。因为B也是一个无穷的可数集合，所以A与B也是等势的，即有A～B。可见两集合也必有一一对应的关系。
证明：
已知条件：A～B且A、B中的元素都是大于等于6的偶数。
求证：A＝B。
要证明集合A与集合B相等或是同一个集合，首先要证明A中不缺少任何一个大于等于6的偶数。由于B是所有大于等于6的偶数集合，所以B中是不缺少任何大于等于6的偶数的。也就是说，首先A是包含于B的。现在，只要证明了A既包含于B，且A又包含B就可以了。
根据集合等势的定义：“设A、B是两个集合，若存在A到B的一一对应，则称A与B等势。记为A～B。”已知A～B，所以A与B一定是有一一对应关系的。又根据一一对应的定义：“设ψ为M到N上的对应，若M里的元素不同（a≠b），对应N里的像也不同（a≠b）,则称ψ为M到N的一一对应。”这就说明了有一一对应的两个集合，一个集合中的元素不同（ai≠aj），对应到另一个集合里的像也就不同（ai≠aj）（由于上画线打不出来，只得用下画线代替上画线来表示“像”）。
再根据定理：“设ψ为M到N的对应，ψ的逆对应ψ＇存在的充分与必要条件是ψ为M到N的一一对应。”从而可以看出，有一一对应关系的两个集合，也一定是有其逆对应的。若从A到B的一一对应为φ：ai→bi，则一定有逆对应φ＇：bi→ai存在。由于φ与φ＇是互逆对应（即有（φ＇）＇＝φ），所以φ＇就是从B到A的一一对应（由于“负1次方”在复制移动过程中常发生变形，所以只能用“撇”代替“负1次方”来表示逆对应）。
这就说明了A中是不缺少任何一个大于等于6的偶数的。也证明了A既包含于B，且A又包含B。所以就有A＝B或A与B是同一个集合的结论。
证毕。
4、大于等于6的偶数都是两个奇素数的和的再次证明
因为我们所得到的并集A中的每一个元素都是由两个奇素数相加所得到的，那么也就可以说集合B中的每一个元素也是可以由两个奇素数相加而得到，所以也就有大于等于6的所有偶数都是两个奇素数的和的结论。但这只是从数集合论角度进行的证明，现在再看一下从逻辑角度进行的证明。
虽然“任何大于等于6的偶数都是两个奇素数的和”与其逆命题“任何两个奇素数相加的结果都是大于等于6的偶数”是互逆的命题，且该逆命题也是真命题，但“任何大于等于6的偶数都是两个奇素数的和”是否是真，却与“任何两个奇素数相加的结果都是大于等于6的偶数”的逆命题的真假性没有直接的关系，所以只能再来进一步考虑原命题的逆否命题是真是假，再来判断原命题的真假性。因为原命题与其逆否命题是同真同假的。
   “任何大于等于6的偶数都是两个奇素数的和”的逆否命题是“任何两个非奇素数的和都是小于6的偶数”。这个逆否命题是真是假呢？证明如下：因为偶素数（即非奇素数）只有唯一的一个“2”，其自身相加的结果是2＋2＝4，而4的确是小于6的。这就证明了这个逆否命题是真的。因为原命题与其逆否命题的真假性是相同的，所以“任何大于等于6的偶数都是两个奇素数的和”的原命题也是真的，是成立的。
证毕。
5、大于等于4的偶数都是两个素数的和
由于偶数4本身就只能是唯一的偶素数2自身相加的结果，所以有穷集合｛4｝与并集A的并集就是大于等于4的所有偶数的集合。其中的每一个元素（大于等于4的偶数）都是两个素数相加的结果。这就证明了可德巴赫猜想的第一部分是正确的，即“1＋1”是正确的。

雷  明
二○二一年五月二十三日于长安

参考文献：
1、《集合与逻辑代数》，肖鹏一著，科学出版社，1983年7月第一版，1985年3月第二次印刷；

注：此文初搞曾已于二○二一年五月二十三日以《用集合论方法简单的证明哥猜》为题在《中国博士网》上发表过，网址是：
http://www.chinaphd.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=4407，稍作修改后于二○二一年六月九日在《中国博士网》上重新发表，并把题目改为《逆向思维用集合论方法简单的证明哥德巴赫猜想》，网址是：
http://www.chinaphd.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=4413，这次又将短篇改为中篇，题目改为《逆向思维集合论方法证明“哥猜”》，并于二○二一年六月十六日在《中国博士网》上发表，网址是：http://www.chinaphd.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=4415

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