问题与难题之16

yangchuanju · 发表于 2021-5-20 14:44

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-5-20 17:50 编辑

问题与难题之16——末位数字相同的连续素数串

目前在互联网上可搜索到大量的由连续素数或不连续素数构成的各生等差素数串（算术级数，最高27生）、各生最密素数串（无穷多型，最高17生）等。
而对于末尾数字相同的连续素数串，在OEIS网站上是作为“问题与难题”之16给出来的。详见《Problems & Puzzles: Puzzles Puzzle 16.- Consecutive primes and ending digit》
网址：https://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_016.htm

若不要求素数连续，则将所有素数按末位数字分类并排序，立即得到无穷高生末位数是1,3,7,9的4类素数；或按末2位数字相同分类并排序，也容易得到无穷高生末位数是01,03,07,09；11,13,17,19；21,23,27,29；……；91,93,97,99的40类素数。

若加上一个连续素数的要求，则找几个低生的也不难，例2生以1结尾的相邻素数串有：181,191；241,251,；421,431；……

以1结尾的3生相邻素数串呢？
取前50000个素数，从中共找到以1结尾的素数号差等于1的1978组，其中相隔一个素数而素数号差等于2的有198组（仅复制前10组）：
素数号素数
650 4831
841 6481
1592 13421
2307 20411
2516 22501
2517 22511
3009 27541
3349 31081
3476 32381
3751 35171

其中第一、二组对应的以1结尾的3生相邻素数串是：
素数号素数
650 4831
651 4861
652 4871
841 6481
842 6491
843 6521

以1结尾的4生相邻素数串呢？
取前50000素数，从中共找到1321对以1结尾邻距等于10的2生素数；再计算它们的素数号差等于2的共有10组：
素数号素数
2516 22501
4158 39511
10270 107941
10473 110281
22931 261241
37885 452161
39442 472711
40014 480061
42994 519121
49940 611071

其中第一组对应的以1结尾的4生相邻素数串是：
素数号素数
2516 22501
2517 22511
2518 22531
2519 22541

要找到以1结尾的5生相邻素数串，在前5万个素数中只有一组：
素数号素数
19317 216401
19318 216421
19319 216431
19320 216451
19321 216481

yangchuanju · 发表于 2021-5-20 14:46

要找到生数更多的以1结尾的相邻素数串就更难了。不过网页《Problems & Puzzles: Puzzles Puzzle 16.- Consecutive primes and ending digit》给出了本类最小的5—10生素数串各一组。

类似的网页给出若干组以3,7,9结尾的最小的5—10相邻素数串各一组（表中没有给出以9结尾的10生素数串）。
以1,3,7,9结尾的5—10生连续素数串
k e=1 e=3 e=7 e=9
5.1 216401 752023 192637 123229
5.2 216421 752033 192667 123239
5.3 216431 752053 192677 123259
5.4 216451 752083 192697 123269
5.5 216481 752093 192737 123289
6.1 2229971 2707163 776257 2134519
6.2 2229991 2707183 776267 2134529
6.3 2230001 2707213 776287 2134549
6.4 2230021 2707223 776317 2134579
6.5 2230051 2707273 776327 2134589
6.6 2230061 2707283 776357 2134609
7.1 3873011 44923183 15328637 12130109
7.2 3873041 44923213 15328657 12130159
7.3 3873061 44923223 15328667 12130169
7.4 3873071 44923253 15328697 12130259
7.5 3873091 44923273 15328717 12130289
7.6 3873101 44923283 15328727 12130309
7.7 3873151 44923303 15328757 12130319
8.1 36539311 44923183 70275277 23884639
8.2 36539381 44923213 70275307 23884669
8.3 36539401 44923223 70275347 23884699
8.4 36539411 44923253 70275367 23884709
8.5 36539431 44923273 70275377 23884739
8.6 36539441 44923283 70275397 23884759
8.7 36539471 44923303 70275407 23884769
8.8 36539491 44923313 70275427 23884799
9.1 36539311 961129823 244650317 363289219
9.2 36539381 961129843 244650337 363289229
9.3 36539401 961129853 244650347 363289249
9.4 36539411 961129903 244650377 363289259
9.5 36539431 961129933 244650397 363289309
9.6 36539441 961129943 244650407 363289319
9.7 36539471 961129963 244650437 363289349
9.8 36539491 961129973 244650457 363289369
9.9 36539501 961129993 244650617 363289379
10.1 196943081 1147752443 452942827 　
10.2 196943101 1147752493 452942837 　
10.3 196943141 1147752523 452942857 　
10.4 196943161 1147752553 452942927 　
10.5 196943171 1147752583 452942947 　
10.6 196943221 1147752623 452942977 　
10.7 196943231 1147752673 452943047 　
10.8 196943261 1147752713 452943097 　
10.9 196943281 1147752733 452943107 　
10A 196943291 1147752743 452943137 　

网页还给出部分以1,3,7,9结尾的11—17生连续素数串的首素数或尾素数，数据不全，从略。

yangchuanju · 发表于 2021-5-20 15:13

补上缺少的以9结尾的10生连续素数串
网页《Problems & Puzzles: Puzzles Puzzle 16.- Consecutive primes and ending digit》没有给出末位数是9的10生连续素数串，但另行给出了它的首素数和尾素数是9568590299和 9568590529，总跨距230，调出因子分解软件，对首尾素数间的93个（含首尾二数）末位数是1,3,7,9的奇数一股脑儿分解一下看看，若中间没有结尾是1,3,7的素数，且除首尾以外的素数只有8个，则网页给出的结论就是正确的。
序号分解式
1 9568590299 is prime
2 9568590301=17*17*33109309
3 9568590303=3*421*7576081
4 9568590307=1993*4801099
5 9568590309=3*3*1063176701
6 9568590311=7*1366941473
7 9568590313=37*433*597253
8 9568590317=11*13*97*689827
9 9568590319 is prime
10 9568590321=3*919*3470653
11 9568590323=19*59*149*57287
12 9568590327=3*3*67*15868309
13 9568590329 is prime
14 9568590331=1511*6332621
15 9568590333=3*257*2161*5743
16 9568590337=127*1087*69313
17 9568590339=3*7*11*11*29*89*1459
18 9568590341=23*416025667
19 9568590343=13*83*8868017
20 9568590347=9281*1030987
21 9568590349 is prime
22 9568590351=3*43*1901*39019
23 9568590353=7*1366941479
24 9568590357=3*61*971*53849
25 9568590359 is prime
26 9568590361=11*19*45782729
27 9568590363=3*3*47*79*281*1019
28 9568590367=7*1366941481
29 9568590369=3*13*17*14432263
30 9568590371=223*1277*33601
31 9568590373=41*53*1031*4271
32 9568590377=239*4229*9467
33 9568590379 is prime
34 9568590381=3*3*7*643*236209
35 9568590383=11*113*173*44497
36 9568590387=3*23*37*3747979
37 9568590389 is prime
38 9568590391=661*14475931
39 9568590393=3*3189530131
40 9568590397=29*109*3027077
41 9568590399=3*3*3*19*263*70921
42 9568590401=2293*4172957
43 9568590403=17*562858259
44 9568590407=1091*8770477
45 9568590409=7*71*19252697
46 9568590411=3*12391*257407
47 9568590413=73*131076581
48 9568590417=3*3*31*34296023
49 9568590419=101*94738519
50 9568590421=13*10099*72883
51 9568590423=3*7*455647163
52 9568590427=11*869871857
53 9568590429=3*307*467*22247
54 9568590431=199*48083369
55 9568590433=23*416025671
56 9568590437=7*17*19*43*98419
57 9568590439 is prime
58 9568590441=3*59*54059833
59 9568590443=1021*9371783
60 9568590447=3*13*245348473
61 9568590449=11*3967*219277
62 9568590451=7*1366941493
63 9568590453=3*3*3*107*3312077
64 9568590457=47*203587031
65 9568590459=3*3189530153
66 9568590461=37*67*443*8713
67 9568590463=18371*520853
68 9568590467=163*58703009
69 9568590469 is prime
70 9568590471=3*3*11*17*397*14321
71 9568590473=13*977*753373
72 9568590477=3*193*16526063
73 9568590479=7*23*31*53*61*593
74 9568590481=22691*421691
75 9568590483=3*167*19098983
76 9568590487=227*3373*12497
77 9568590489=3*3*1063176721
78 9568590491=389*24597919
79 9568590493=7*7*11*17752487
80 9568590497=1039*2437*3779
81 9568590499=13*151*4874473
82 9568590501=3*1697*1879511
83 9568590503=13649*701047
84 9568590507=3*3*3*3*7*16875821
85 9568590509=83*115284223
86 9568590511=97*103*957721
87 9568590513=3*19*29*5788621
88 9568590517=89*619*173687
89 9568590519=3*3189530173
90 9568590521=7*79*181*95597
91 9568590523=43*3823*58207
92 9568590527=179*1553*34421
93 9568590529 is prime

删除其中的合数，净剩包括首尾数在内的10个素数，且末位数字全是9，中间不含其它素数：
序号分解式
1 9568590299 is prime
9 9568590319 is prime
13 9568590329 is prime
21 9568590349 is prime
25 9568590359 is prime
33 9568590379 is prime
37 9568590389 is prime
57 9568590439 is prime
69 9568590469 is prime
93 9568590529 is prime

yangchuanju · 发表于 2021-5-20 18:05

存在尾数为11,13,17,19……99的连续多生素数串吗？

以1,3,7,9结尾的多生连续素数串，上面已经给出许多，但存在尾数为11,13,17,19……99的连续多生素数串吗？
据统计，在前25万个素数（300万以内）有8个相距100的素数对，但没有一个是以11结尾的，没有连续的间距等于100的素数串。不可能有间距100+100+100的多生素数串，相当于不存在间距为4,4、4,4,4的三生、四生素数串那样。
但当数字相当大时，有可能存在间距100、200、300交替出现的情况，间距100+200相当于4+2，200+100相当于2+4，因此100+200、200+100和100+300、200+300都有可能出现。因此有可能存在末2位数字相同的低生连续素数。
实际上看一看以1,3,7,9结尾的多生连续素数串，它们之中的素数间距也都是10、20、30、40、50、60交替出现的。
若不限定素数连续，则尾数为11,13,17,19……99的多生素数串还是相当多的。

白新岭 · 发表于 2021-5-20 18:14

yangchuanju 发表于 2021-5-20 18:05
存在尾数为11,13,17,19……99的连续多生素数串吗？

以1,3,7,9结尾的多生连续素数串，上面已经给出许多， ...

yangchuanju先生说干就干。期待你出成果，也找到一个“大”素数类型。

yangchuanju · 发表于 2021-5-21 12:21

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-5-21 12:24 编辑

今从OEIS网站找到了间距100的相邻素数对10000个，间距200的相邻素数对5000个，间距300的相邻素数对3718个；间距100的相邻素数对之小素数编号1000个，间距200的相邻素数对之小素数编号1000个。
将18718对间距100或200或300的素数对放在一起，进行排序、分类并分析：

（一）按各对素数之小素数除以100的余数进行分类，40种末二位数字是01,03,07,09，……99的全有，数量大致相等，最小427，最大524。
若允许各对素数之间有其它素数，则末二位数字相同的4生、6生、……427生的素数群皆找到。

（二）按2000对有素数编号的素数排序，没有编号差等于2,3,4,5……186的，最小编号差是187。由此说明在已有的间距为100和200的相邻素数对中间没有3生、4生末二位数字相同的素数群（串）。但不排除当素数对无穷增大增多时出现3生、4生，任意高生末二位数字相同的素数群（串）。

（三）按各素数对的小素数相减求差，最小差是300，仅一对：366861511和366861811；其次是600的2对：417545071 和417545671 、644716783和 644717383；900的1对：483128617 和483129517 ；……前后两素数都是间距100的相邻素数对。

（四）间距等于100的最小相邻素数对是396733和396833，亿内共878对，2亿内共2231对, 3亿内共3725对，4亿内共5420对，5亿内共7152对，6亿内共8942对，第10000对间距100的相邻素数对是6亿55856137和655856237。

间距等于200的最小相邻素数对是3亿78043979 和378044179 ，10亿内共28对，100亿内共1102对，第5000对间距200的相邻素数对是287亿77461707和28777461907。

间距等于300的最小相邻素数对是47亿58958741 和4758959041，100亿内共12对，1000亿内共420对，第3718对间距300的相邻素数对是4036亿42186631和403642186931。

（五）间距等于100、200、300、400…1400的最小相邻素数对（小素数）分别是：
间距最小素数
100 396733
200 378043979
300 4758958741
400 47203303159
500 303371455241
600 4872634110067
700 14998144209049
800 486258341004083
900 2069461000669981
1000 22439962446379651
1100 21475286713974413
1200 399081457010391689
1300 1141041866384833123
1400 3431657795858378003
1500 ？

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