中国数学会中小学数学教育改革研讨会发言摘要

rainbow

中国数学会中小学数学教育改革研讨会发言摘要

    2000年8月27日，中国数学会在北京师范大学召开中小学数学教育改革研讨会。到会的有王梓坤、姜伯驹等科学院院士，中国数学会理事长马志明教授、长期从事中小学数学教育改革研究与实践的香港科技大学项武义教授等也参加会议，美国斯坦福大学数学教授、美籍华人伍鸿熙先生专门发来书面发言。
    为了召开此次会议，中国数学会进行了两个多月的准备，事先给每一位与会者寄发了《义务教育阶段国家数学课程标准》（征求意见稿），使每一位参加会议的数学家都对《标准》有一个详细的了解，在发表意见时做到深思熟虑、认真负责。
    现将参加会议的数学家发言的主要观点摘录如下。

　
    马志明（中国数学会理事长）：
希望广大数学工作者都来关心数学课程改革，为我国基础教育课程改革做出贡献，这是一个非常重要的事情，希望各位专家能畅所欲言。首先请刘兼同志简要介绍《标准》的研制情况。

    刘兼（教育部基础教育司课程教材发展中心）：
    首先，我代表教育部基础教育司对数学家们表示感谢，感谢数学家对数学教育的关心与支持。在基础教育阶段，学生在校学习时间的15%—18%（最低13%）都用于数学学习，因此，数学教育对人的一生影响非常大。
    1．《标准》制定的背景
    基础教育课程改革是教育部《振兴教育行动计划》的重大项目。在《标准》研制的一开始，就明确提出：研制过程要向全社会开放，中国的数学教育需要全社会的关注。
    我们对数学教育课程改革的研究是从89年开始，经过了10年的理论研究和实践活动，94年编写了实验教材，并正在进行实验，取得了一定的效果。《标准》的研制从99年3月开始，经过专题研究、综合研究、集中编写、征求意见几个阶段，于今年初公布了“征求意见稿”。
    2．《标准》的实施与课程改革的思路
    《标准》的实施策略是：分步到位，滚动发展。今年底，针对已收集的意见，修订“征求意见稿”，公布“实验稿”，组织实验，用实验来检验改革的思路。2005年根据实验结果对“实验稿”进行修订，从2005——2010年逐步推开，2010年全面实行新的课程。
    这次课程改革基本思路的核心是：建立高质量的基础教育。什么叫高质量，新的质量观是什么呢，它包括：终身学习的愿望和能力；反映现代科技和学科的最新进展；确保全民基本素质的前提下，实现多样性（我们现行课程缺乏选择和多样化）。
    3．我们国家数学教育的优势和问题同样突出
    优势：基础知识扎实、基本技能熟练、解题技巧较好；勤奋和刻苦的精神。
    不足：
    1）知识面较窄，内容较为陈旧，不能反映现代科技的进步。
    2）与学生的认知发展水平和生活经验脱离。如何基于儿童的生活经验，使学生得到发展是一个非常重要的问题。
    3）与现代科学技术的脱节。我们的课程要使学生能够认识到现代数学的力量。
    4）学生的情感体验不好，我认为这一点是最为重要的。97年教育部对中小学学习状况做了大样本的调查，调查结果表明，学生的学习状况不容乐观；我做过一个调查，25%的数学教师对数学的体验不好：枯燥无味、繁杂、伤心等。
    我们的优势要基本保留，公民基本的读、写、算要保证，但弊端必须进行改革。
    4．新的数学课程力图强调：
    1）削枝强干，删繁就简（项武义：是“精中求简”），突出本质，体现数学的思想方法。
    如严士健先生组织我们讨论了方程的思想是：方程是刻画现实世界的模型；方程有特殊解法，但数学家希望得出一般解法；对于解不出来的方程，讨论解的性质；现实问题中有些问题需要近似解，图像解法、近似逼近是求近似解的一些重要方法。但是，我们现在的课程和评价关注的只是其中的一部分。
    2）强调数学的探索过程，体现基本的数学化过程：现实问题──抽象成数学模型──解决现实问题。
    3）基于儿童的生活经验。取消一些繁难的问题，如“乘数、被乘数”。
    （郑学安：我们国家50年代没有乘数、被乘数）
    4）关于理性精神和几何推理
    理性精神：求真、求实；质疑与反思；逻辑的力量、推理的技巧。没有前两条，学生体会不到证明的必要性。
    《标准》中几何的处理方法：重视现实，基于儿童的经验；内容从二维扩充到三维；研究手段多样化（实验操作、测量、运动、位置、推理等）；发展学生的逻辑推理。
    5．在《标准》研制过程中需要讨论的问题
    计算的基本功与技术的运用之间的关系；欧氏几何的处理；统计与概率等新内容的要求与处理等。

    郑学安（北京师范大学数学系主任、博士生导师）：
    1．制定的是最低标准，还是所有人共同的标准？似乎是以一种统一代替另一种统一。
    2．《标准》对数学水平的要求与现行数学教学大纲相比，是降低了水平、维持原有的水平、还是提高了水平？我的感觉是降低了水平。
    3．要区分哪些问题是课程造成的，哪些问题是由于教师教学、考试制度等造成的，由其它因素造成的问题《标准》能否真正解决？
    我们当学生时就没有这些繁杂的训练。文革前的数学教育是面向多数人的教育，我们国家扫除了文盲。
4．我们国家地区发展很不平衡，是否需要制定贫困地区的“课程标准”。
    5．许多人对数学不感兴趣的原因是：繁杂的运算，所谓的人为编造的应用题。如何把趣味的东西与数学教育结合起来，标准没有体现。
    6．数学与生活经验必须有所差异，许多科学知识永远不能从生活经验中得到（如地球围绕太阳转），这就需要灌输，当然如何灌输，是教学法的问题。
    7．运用心理学、脑科学的成果时，需要谨慎。许多问题心理学家自己都搞不清楚。

    姜伯驹（中科院院士、北京大学教授）：
    要客观看待调查的结果，如果向学生调查“对考试的感觉”的话，恐怕所有学生都希望取消考试，但显然目前不能取消考试。

    项武义（香港科技大学教授）：
    1．《标准》的实质性内容究竟是什么，看不出来。我国数学教育的最大弊端是师资培训，要写一套好的教师培训教材。先有师资培训的教材，再有一套实验教材，再有统一的标准。现在的路子走反了。中国的数学教育必须要改革，改革的突破点是教师培训，首先要有师资培训的教材，才能检验你的思想。如果能编写出师资培训的教材，我将尽可能地提出具体、详细的意见。
    2．《标准》需要对数学进行反复的思考。小学阶段是启蒙数学、初中阶段是初等数学、高中阶段是基础数学。我从初中阶段开始，做了长期的研究和实验，最近也考虑了小学阶段。
    小学阶段启蒙教学中的两个重点：
    1）数系的产生、发展及数的运算。
    我们现在的弊端是只教其然，不教其所以然。例如，教“九九表”，首先要构造它，在构造时逐渐认识分配律的重要性。
    分数要跟长度的度量一起教，先定义1/n，m/n用1/n乘以m。
    数豆：一个、一个地数──十个十个数（十进制）──数一大堆（加法）。
    数年龄、数月龄、日龄。月龄、日龄在变化，但同学之间的差不变。
    2）几何
    小学阶段是实验几何。学习时要从二维开始，现在我们有了好的工具，可以用纸来学习反射、对称、旋转（折扇）。
    要强调等腰三角形的学习。
    要潜移默化地让学生发现几何的要点：平行。欧氏几何的平行公理是不能在实践中检验的，可以用其等价命题“三角形内角和为180度”为起点，设计如下的办法：让学生观察出一张长方形纸的四个角是直角，发现长方形是中心对称图形，由此得出直角三角形内角和为180度；再由两个三角形可以拼成一个直角三角形，得出三角形内角和为180度；再引出平行。
    通过用小的面积单位测量长方形，得出长方形的面积公式；引入出入相补，进行测量；最后进入高潮，估计地球的大小、地球和月亮的距离（通过月蚀，测量月球的半径）。
    3）统计：可以统计月亮变圆的周期、一年的天数。
    3．数学水平不能降低，如一元二次函数在初中教学是很自然的事情，一定要教配方。美国的课程改革希望不学代数，而用图象教微积分，这是不可能的。

    周青（基金委）：
    1．不明白《标准》的意图是什么？拿到《标准》，不知道该如何编写教材。
    2．许多问题不是《标准》能够解决的。
    3．《标准》中一些想要贴近生活的例子，是人为编造的。如“现有4盒磁带，用两种方式包装，问哪种方式更省包装纸？”
    编写者的意图是只考虑表面积，但实际生活中包装时都要考虑折叠的部分，结果是两种方式所需的纸基本一样。

    项武义：
    你能想到的东西，哪有比“平面、数系”更好、更精细的。

    李忠（北京大学教授、北京数学会理事长）：
    1．我们的改革习惯于搞大纲和统一的教材，花了很多时间搞“齐步走”。《标准》可以作为参考，但不能要求每个省市都搞一个实验区。教育改革不要靠行政命令，要鼓励大家进行实验，积累经验。
    领导能把造成现在“应试教育”的真正原因找出来就行，哪怕不能改正都行。
    2．《标准》的实施要遇到很多困难，如教师素质是否适应，《标准》基本思想是否正确，地区差别太大等。

    刘兼：
1．不是现在要搞统一，是长久以来已经有了一个统一的大纲。
    2．一个国家需要对自己公民的基本素质提出要求，《标准》正是提供了对本国未来公民基本数学修养的要求，即对于一个未来的公民，什么是最重要的。
3．如果没有一个基本的标准，如何进行评价。

    项武义：
    统一的课程标准应该有，但改革的步子可以小一点（如在教材中加入“构造九九表”）。教师的素质很重要，首先是师资培训教材的编写。

    姜伯驹：
    我们国家的课程比较单一，缺乏有特色的教材。在这样的背景下，提出《标准》，给社会的影响就是“齐步走”。是编写一个国家标准对课程改革更有效，还是组织人员编写有特色的教材更有效？

    刘兼：
1.国家期望达到与各位先生的愿望是不矛盾的，都是要实现多样化的发展，
    《标准》提供的是国家对义务教育阶段学生应具备的最基本的数学修养，在此基础上，《标准》也给出了“因材施教”的建议。
    2．新的课程将采取国家、地区、学校三级课程体系，《标准》所规定的课程是国家课程（大约占总课时的70%——80%），地方、学校可以根据自己的情况开设地方课程或校本课程。
    3．《标准》提供一个基本的要求，在保证基本要求的前提下，实现教材多样化。
    4．新的课程改革思路，在高中要彻底实现多样化，不同的人学习不同的数学，考试要进行相应的改革。不仅是数学，物理、化学、英语等课程都要实现多样化。
    当然，对此我们要广泛征求社会各界的意见，特别是尊重数学家和科学家们的意见。
    5．新的课程要基于儿童的现实，从儿童的现实出发，逐步发展到我们所期望的成人规范。
    6．对现行义务大纲的调查表明，只有约1/3的学生能掌握好现行大纲所规定的内容。

    项武义：
    1．现在小学应用题的教法不对。如“鸡兔同笼”完全可以采取新的讲法，运用列举来解决。
    2．《标准》规定的并不都是基本的，如1�3年级没必要教“统计与概率”，小学阶段没必要学坐标。

    刘兼：
    可以在从小学开始学习统计与概率、坐标等，我们有这样的教材，也做了实验。

    项武义：
学是学了，小学生并没有真正体会。

    郑学安：
    《标准》中三角函数没有了，圆没有了，这不行。（刘兼：这些内容《标准》中是有的）

    李忠：
    《标准》只要列出基本内容就行了，没有必要提出“情感目标”，要允许学生不喜欢数学。不要把课题组的观点放到标准中去。在小学阶段，学生的探索精神和创新精神根本达不到，没必要提出。标准只要4、5页就行了。

    项武义：
    标准要逐渐形成，师资培训、教材很重要。现在的师资培训，大多是照着老师要教的新教材，一节一节的讲，没有从根本上提高教师的数学修养。

    刘绍学（北京师范大学）：
    1．我对标准的某些方面是欣赏的。在理想状态，看一看在义务教育阶段应该达到什么样的目标是必要的。
    2．《标准》从社会、心理、教育角度考虑的较多，对数学本身的处理和要求考虑的较弱，而且被前面的东西所淹没。当然，各人的角度不一样，比如今天这个会议，大家对教育学、心理学不大理解和接受，也许教育学、心理学界对我们的观点也不买帐。
    3．我们希望，要提高教师的数学素质，教师对数学的理解必须加强。但在“中学骨干教师国家级培训”的课程设置上，12门课程有9门是教育课程。
    4．数学教育只能改革，不能革命。美国的新数学运动有许多好的想法，但由于当时一下子从“实用主义”到“新数”，社会、教师都无法接受。
    5．数学内容包括生活、经验，也包括数学训练。现行课程这两者之间的比例可能是2比8，而《标准》对此有比较大的改变，有一点革命的味道，行动大了一些。我的设想是，首先要对教师进行培训，社会的舆论也很重要，理想境界与现行课程的过渡要拉长，逐步变化。
6．伍先生对《标准》的意见提得很尖锐，不知你们对他的意见如何处理。

    刘兼：
    1．反映数学思想的好的生活经验，才能反映好的数学实质。数学表现给学生，特别在义务教育阶段，生活经验的色彩可以要浓一些。当然是基于儿童的经验，而不是局限于经验。我们的教育要区分哪些是好的经验，哪些可以发展，哪些是错误的经验。
2．伍先生的意见我们会认真考虑，但有一点是，不能按照纯数学的讲法。

    王梓坤（中科院院士、北京师范大学教授）：
    1．首先讲一个故事，有一个数学教授和他的学生都被诬告，同时要枪毙了。在临死前，人们问他们最大的愿望是什么。教授先答道，请让我最后一次站在讲台上，为我的学生再讲一节课吧。学生听后，急忙说道，我的愿望是在老师讲课之前，马上让我死吧。这当然是一个笑话，但说明现在的数学教得太枯燥无味了。
    特别是在义务教育阶段，首先是逐步启发学生的兴趣和爱好，《标准》中要增加些启发学生兴趣爱好的内容，当然不是让每一个学生都喜欢数学；二是要培养他有信心学。其它关系并不是非常大。要提高数学的可读性、趣味性。
    2．数学改革搞了很多年，但课程内容没有很大变化。最近十年，由于技术的发展，社会、科技、包括数学都有了很大的变化，课程内容当然需要进行改变。
    3．过去我们是教学计划、教学大纲、教材三个部分，我不清楚《标准》属于哪一部分，如果能和教学大纲和几套好的教材结合起来，效果会更好。教师培训也是很重要的。

    王尚志（首都师范大学教授）：
    国家已经意识到了教师培训的重要性，制定了“园丁工程”，计划逐步培训1万名国家骨干教师，9万名省市骨干教师、90万名地区骨干教师。
    这次教师培训，主要是放在了师范大学进行，由师范大学、综合大学参与教师培训，是一个进步。
    教育硕士培训时，课程内容中学科内容只占1�2门，包括国家级骨干教师的培训，师范大学的老师们有一个普遍的感觉是，教师的数学素质不够理想，自己也没有改善的愿望。小学教师不知道初中内容，初中教师不了解高中内容，高中老师对与高考无关的内容不感兴趣，对一些很基本的问题不理解。同时，学员对学科课程的反映也不理想，对这种反映以及是否以此为评估依据，不同方面也有不同的看法。
    不同方面对课程的设置有不同的看法，大家比较一致的是，教师要了解现代信息技术，但在教育课程和学科课程的比例上有不同的意见。
    当然，我们坚持要有一定比例的学科课程，但要考虑如何上学科课程，确实需要一批能够提高教师数学素质的课程。数学界对此要做工作，编一些教师能接受的好的培训教材。

    项武义：
    不能把现行的大学课程照搬给教师讲。

    张饴慈（首都师范大学）：
    1．义务教育主要是面对大多数的学生，而现在的大多数教师和学生除了考试外，看不出数学的作用，如银行的管理人员不了解贷款利率是怎么算出来的。因此，赞成《标准》中提出的将数学与学生的生活联系起来。
    2．《标准》注重探索过程是很好的。
    3．《标准》将内容与指导思想混在一起，不如分开。
    4．要突出数学与其它科学相比，自己的特色，要加强学生数学思维的训练。但不一定完全依靠平面几何的内容，由于平面几何中的一些结论过分直观，学生体会不到证明的必要性，当然有一些结论（如三角形内角和）是不明显的，需要证明。
    重要的是培养学生一步一步将道理说清楚，可以引入趣味问题，尽量培养学生的数学兴趣，当然不是要求所有的学生都感兴趣。

    汪秉彝（贵州师范大学教授）：
    1．“新数学课程标准”的研制应该是一个整体，应对小学、初中、高中统一起来进行考虑，搞好各个阶段的衔接问题。要组织有关专家，特别是数学家，集中起来考虑一下各个阶段对学生数学修养的基本要求到底是什么。
    2．中学教师关心的是考试，评价制度必须要进行改革。
    3．《标准》到底应该包括什么内容，现在看起来杂了一些。只要提出对内容的基本要求和需要注意的问题就行了，例子不需要。《标准》前后有些地方重复，有些内容要求过细，造成要求不好区分，不宜把握。是否可以只分为小学、中学两个阶段。
    4．是否将“联系与综合”作为指导思想和总体要求提出来，不分学段要求。
    5．广大数学教育工作者都熟悉计划、大纲、教材的形式，是否需要改变？我们认为现在的大纲对教学实践的指导还是有效的。
    6．最担心的是数学水平的问题。目前，大纲进行了多次修改，已经降低了要求，不宜再降低。

    齐东旭（北方工业大学）：
    例子的作用很重要，它代表了要引导的方向。我很喜欢《标准》中的例子，很贴近学生的生活经验，形式新颖、活泼，编写者花了很大的功夫。
    但有些例子缺乏推敲，有些要简练，如《标准》P18例16，去掉“在副食商店”；有些要准确，如P51，“4个同学坐在四个方向上”不准确；结合实践的例子要推敲，如磁带的包装，又如P18例22，买长了，价钱不是线性关系，再如P31例13，生活中的树不是真正对称的；有些例子科学性上有问题，如P16例8规律不唯一，是错题，如P18例19，答案不唯一。
例子需要积累、选择、推敲，要下功夫。

    项武义：
    这样的例子（完成序列：0.5，1.5，4.5，？．）是对非数学的学习，容易造成思维混乱。题目中没有说规律，没有任何思想，造成学生揣测教师的意图，思想紧张。

    齐东旭：
    编写者的本意是好的，希望学生去探索规律，可以换一个例子体现探索的思想。

    项武义：
    不能忽视数学的明确性。

    郑学安：
    数学与文科不一样，怎么想都可以。

    姜伯驹：
    不仅数学家反对，文学家也反对。小说不能从前一、二章就知道结尾。

    刘兼：
    这个例子可以培养学生发现规律的能力，学生要对自己的规律进行合理的解释。

项武义：
    可以编成这样，做了一个实验，收集了第一个数据、第二个数据，能不能找到一个数学模型来刻画数据。
    选题力求精简、明确。

    李忠：
    小学一、二年级不宜发现什么。

    刘兼：
    荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔的教材中有大量的例子需要学生通过归纳寻找规律， 如负数的运算中有：
2 ╳ 3 =6 2 ╳（-1）= -2
2 ╳ 2 =4 1 ╳（-1）= -1
2 ╳ 1 =2 0 ╳（-1）= 0
2 ╳ 0 =0 -1 ╳（-1）= ？
    2╳（-1）= ？
…… ……
    我们是不是应该对于10岁左右的学生，鼓励他们进行大胆的归纳，再进行小心的求证。

    姜伯驹：
    你这个问题和他的不一样，你这个问题没有任何条件，是抽象的，没有前提。

    李忠：
    1．你误解了我们的意思。猜测、归纳是正确的，但要事先明确需要猜测的是什么规律。我们不是为了猜测而猜测，而是通过猜测来学习数学。要把规律事先规定，说清楚。
    2．《标准》中的例子“通过多种方式认识一百万”，对学生的数学理解没有作用。
    3．P18例20数线段，“线段”是什么，前提没有说清楚。
    4．与数学知识无关的例子，一律取消，如P50“开家长会，需要多少长凳”要改成“至少需要”，还有P49 例5。启发式不是目的，关键是通过启发，让学生学习数学知识。
    5．国家标准不要将情感体验、数学能力放进去。
    6．统计图表为什么非要画成条形的？统计与概率要求到什么程度，不讲过程、随机变量、正态分布，怎么叫统计与概率？

    项武义：
    1．3－5怎么讲：不够减的时候，需要引进负数，并且保持5+（－5）=0，和分配律。
    并不是明确的就没有启发，对于数系，小学阶段一定要让学生认识分配律（为什么负负得正，就是为了保持分配律），有了分配律，可以启发很多问题，数系的结构是最具有启发性的；再如对于变换，要紧紧抓住三角形，比“画树的另一半”的例子好得多。启发式的基础是认识论，认为人们对数学知识是逐步认识的，希望积极求思；灌输式基于知识论，希望学生苦读。
    2．训练思维，首先要训练学生进行分析，如上述的“三角形内角和”的安排。
    3．取材时要做到循循善诱、潜移默化。如计算时要算必有理，就是在训练学生的逻辑思维。
    4．启蒙时代的数学
    认识数系的结构，运算的道理；由数数到十进制；最要紧的是分配律和指数；到了小学六年级还可以讲讲二进制。
    几何：运用实验的方法，认识平面几何的一些重要结论；可以做一、两步的推理。
    5．对基础数学还要下功夫，有了想法后先出一本书，再制定标准。看见一个房子不好，不能东拆一下，西添一个，房子也许会倒的。
    6．美国小班教学的形式不好，没有目的性。要鼓励学生考虑、探索，但还要收敛。

    殷慰萍（首都师范大学）：
    《标准》的名字改成“中华人民共和国义务教育阶段国家数学教学大纲”，大纲中只要规定课程内容就行了。剩下的内容作为附录，教学不能只有一个标准，这忽视了教师的积极性。

    项武义：
    要做大幅度的改革，首先要试写一份材料，进行实验，征求数学家等人的意见，这是一个负责的态度。编写人员要对基础教育进行深刻、反复、反璞归真的研究。数学的改革更要求在“精益求精”、“反璞归真”上下功夫。中国数学教育的问题，要找到一个好的切入点，首先要编写适应教师的好的实验教材。

    钱佩玲（北京师范大学）：
    1．原来的“教学大纲”很具体、明确。《标准》除了基本内容之外，还有关于教学、评价、教材等的建议，使得数学内容不清晰。标准应该怎么写，原来大纲的弊端是什么，一定要想清楚。
    2．强调兴趣、强调发现是很好的。但数学最主要的是抽象（精简的结构、规律）。
    3．《标准》看上去对整体水平的要求降低了，如何真正实现让学生提高兴趣、认识数学的探索呢？

    王尚志：
    教师可读的东西太少了。就是一些解题分析、高考指南、教育学，骨干教师培训中充分反映了这一点。

    李忠：
    香港学生的数学水平之差，是难以想象的。我们的基础教育有许多地方是好的，不能因为这次改革消失了。
    刘兼所主持的《标准》的研制工作是非常有意义的，他们付出了很大的勇气和代价，提出了许多有价值的想法。但在实施时要慎重。

    王昆扬（中国数学会教育委员会主任、北京师范大学教授）：
    要吸收已有的经验，如项武义老师的工作。

    孙永生（北京师范大学教授、博士生导师）孙先生没有在会上发言，但在会后发表了自己的意见，经同意摘录如下：
    1．赞成《标准》的总体思想，如将数学与生活实际相结合，让学生经历从现实问题中抽象出数学问题的过程；鼓励学生的探索，培养学生的合情推理能力等。
    2．鉴于这次改革的力度较大，实施起来会遇到很多困难，建议认真做好以下事情：
教师培训工作
编写实验教材
抓好“点”的实验。

     Hung-Hsi Wu（伍鸿熙）（书面发言）
    All I can say is that, after a casual inspection of the National Standards, I am worried for the future of mathematics education in China. You may be aware that I am deeply involved in the mathematics education of California as well as the United States, and I am quite sensitive to certain trends. What the National Standards seem to have done is to overreact to the curriculum of the past --- which undoubtedly is guilty of being too formal and too rigid, and of overemphasizing computations at the expense of logical reasoning --- by going to the other extreme of overemphasizing the application-to-everyday-life aspect of school mathematics. The nine-year curriculum reads like a manual on how to write propaganda about the relevance of mathematics in everyday life. (I have carefully avoided any reference to "applied mathematics" because, at its best, applied mathematics is a theoretical study of natural phenomena. The National Standards do not seem very concerned with any kind of *theoretical* study at this point.) Students in school should be taught slowly but carefully about the need of logical reasoning in mathematics, and they should begin to appreciate the internal structure of mathematics. Mathematics is a technical subject, and students should learn a modicum of technical skills because these skills are the source of its power. They must also learn about the need of abstract reasoning as well as the power of generality in the use of mathematics. All these issues are, I believe, ignored in these Standards. How are students going to learn about mathematics at all?

    One example can serve to back up these comments of mine. In discussing the extent quadratic equations should be covered in grades 6-9, it is stated that students　One example can serve to back up these comments of mine. In discussing the extent quadratic equations should be covered in grades 6-9, it is stated that students　 "should kn how to make use of the graphs of quadratic functions to get approximate solutions of quadratic equations".　 how to make use of the graphs of quadratic functions to get approximate solutions of quadratic equations".　 It also states that students　 "should know how to use quadratic functions to solve extremum problems in everyday life".　 It seems to me that befe all these, students should be properly taught the technique of completing the square (which underlies the solution of extremum problems of any kind) and the quadratic formula (which would then give *exact* solutions of quadratic equations). By purposely leaving out these two technical items from the "Area of technical knowledge", these Standards send out a defective message to all the teachers of the land.

    Again, I should stress the fact that I have not had time to do these National Standards full justice, and that the above is nothing but a first impression. If I am proven to be gravely mistaken, I apologize. But if what I say does not seem so far-fetched from your personal perspective, then perhaps the mathematicians and mathematics educators in China should waste no time in getting these Standards rewritten.

    附：参考译文
    我想说，粗略地读了"国家标准"以后，我对中国数学教育的未来感到忧虑。你可能知道，我被深深地卷入加洲和美国的数学教育之中，并对某些趋势非常敏感。"国家标准"所做的似乎是去反对过去的课程……毫无疑问，过去的这个课程太形式化、太死板，过分强调计算并以牺牲逻辑推理为代价……（新课程）过分强调学校数学在实际生活中的应用将走向另一个极端。九年的课程读起来就象是一个手册，介绍怎样写实际生活与数学的联系（我尽量避免使用"应用数学"，因为，应用数学是一种对自然现象的理论研究。"国家标准"似乎与这种理论研究没有任何关系）。学校应该缓慢地而不是小心翼翼地教给学生在数学中对于逻辑推理的需要，学生应该开始欣赏数学的内部结构。数学是一门技术学科，学生应该掌握适当的技巧，因为这些技巧是数学力量的源泉。他们也必须学习关于抽象推理的需要和广泛应用数学的能力。我相信，这些观点在标准中是没有涉及的。那么学生将怎样学习数学呢？
    举一个例子，可以说明我的看法。在讨论6年级到9年级学习二次方程应达到什么要求时，"国家标准"写到，学生应该"会利用二次函数的的图象求二次方程的近似解"，"国家标准"也写到学生应该"了解可以利用二次函数解决实际生活中的最值问题"。我认为，在学习这些之前，应该适当地教给学生配平方的技巧（它是解决任何最值问题的基础），以及二次求根公式（它能给出二次方程的精确解）。故意将这两种技能从"知识技能领域"中舍弃，那么这些标准给予教师的将是不完善的信息。
    另外，我应该说明，我没有时间公平地评价"国家标准"，以上所说只是我的第一印象，如有言过之处，请多加谅解。但如果我所说的与你的个人观点相差不远，那么，也许中国的数学家和数学教育工作者重写这个标准并不是浪费时间。