在四边形 ABCD 中，已知 ∠BAD=∠ABC=∠BDC 且 ∠CBD=∠BCD=50°，求证：AC⊥BD

popo987654

如图,已知角BAD=角ABC=角BDC且角CBD=角BCD=50度. 求证：AC垂直BD.

王守恩

抛砖引玉！期盼出现其他解法。
记AC,BD交点为E，任意四边形，恒有：
(sin∠EDA*sin∠ECD*sin∠EBC*sin∠EAB)/(sinEDC*∠sinECB*∠sin∠EBA*sin∠EAD)=1
记∠ECB=x，由下解得 x=40°

popo987654

王守恩 发表于 2020-6-14 10:38
抛砖引玉！期盼出现其他解法。
记AC,BD交点为E，任意四边形，恒有：
(sin∠EDA*sin∠ECD*sin∠EBC*sin∠E ...

想问问那条等式是怎样推出来的?

mazh596

设AC BD .相交于0.设θ=∠DCA.利用已知条件解出70十30十θ=80十θ。θ=10度,∠CDB=80°。则在三角形DCOS 是直角三角形。证明完毕。

王守恩

王守恩 发表于 2020-6-14 10:38
抛砖引玉！期盼出现其他解法。
记AC,BD交点为E，任意四边形，恒有：
(sin∠EDA*sin∠ECD*sin∠EBC*sin∠E ...

没有其他解法吗？记AC,BD交点为E，
四边形ABCD面积=三角形ABD面积+三角形BCD面积
=AB*AD*∠sinBAD+DB*DC∠sinBDC
=sin70*sin30*sin80*+sin80*sin80*sin80*
四边形面积=AC*BD*∠sinBEC
=sin70sin80/∠sin(50+x)*sin80*sinx
解得 x=90

luyuanhong

王守恩

luyuanhong 发表于 2020-6-29 01:02

谢谢陆老师！这余弦定理应该怎样证明？
sin(A+B)^2=sin(A)^2+sin(B)^2+2sin(A)sin(B)cos(A+B)

luyuanhong

王守恩

luyuanhong 发表于 2020-6-30 12:22

利用三角函数解题(谢谢6楼陆老师的图)。
记∠ACD=10+x, ∠CAD=20-x, ∠ACB=40-x, ∠CAB=60+x
1，在三角形BCD中，
记BC=sin80，BD=sin50，CD=sin50
AB=sin50*sin70/sin80=sin80*sin(40-x)/sin(60+x)   (1)
AD=sin30*sin50/sin80=sin50*sin(10+x)/sin(20-x)   (2)
AC=sin80*sin80/sin(60+x)=sin50*sin150/sin(20-x) (3)
2，在三角形ABD中，
记AB=sin70，AD=sin30，BD=sin80
CB=sin80*sin80/sin50=sin70*sin(60+x)/sin(40-x)   (4)
CD=sin50*sin80/sin50=sin30*sin(20-x)/sin(10+x)   (5)
CA=sin70*sin80/sin(40-x)=sin30*sin150/sin(10+x) (6)
3，在三角形ACD中，
记AC=sin150，AD=sin(10+x)，CD=sin(20-x)
BD=sin80*sin(10+x)/sin30=sin50*sin(20-x)/sin50    (7)
BA=sin70*sin(10+x)/sin30=sin150*sin(40-x)/sin80  (8)
BC=sin80*sin(20-x)/sin50=sin150*sin(60+x)/sin80  (9)
4，在三角形ACB中，
记AC=sin80，AB=sin(40-x)，CB=sin(60+x)
DB=sin50*sin(60+x)/sin80=sin80*sin(40-x)/sin70    (10)
DA=sin30*sin(40-x)/sin70=sin80*sin(10+x)/sin150  (11)
DC=sin50*sin(60+x)/sin80=sin80*sin(20-x)/sin150  (12)
5，......
由(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),(11),(12),..中
任意一个都可得方程解：x=0

ywl

注意，BD⊥AC的充要条件是：AD^2+BC^2=AB^2+CD^2利用余弦定理，证明将大大简化。