已知 x 是满足 x^3+1/x^3=2√5 的实数，求 x^2+1/x^2

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luyuanhong

题  已知 x 是满足 x^3+1/x^3 = 2√5 的实数，求 x^2+1/x^2 。

解  设 x+1/x = y ，因为 x 是实数，所以 y 也是实数。

    2√5 = x^3+1/x^3 = (x+1/x)^3 - 3(x+1/x) = y^3 - 3y 。

        y^3 - 3y - 2√5 = (y-√5)(y^2+√5y+2) = 0 。

    可解得 y = √5 ，y = (-√5+√3i)/2 ，y = (-√5-√3i)/2 。

    因为 y 是实数，所以两个复根都应舍去，只有 y = √5 。

    所以有

    x^2+1/x^2 = (x+1/x)^2 - 2 = y^2 - 2 = (√5)^2 - 2 = 5 - 2 = 3 。