对群论大为不解

naimaonin

不好意思,,刚学了一点群论,结果大大的迷惑,那就是一开始人们就定义群,半群,还有子群等概念,总是提到是否符合交换律,结合律的问题,但是我无论如何也搞不明白,那些定义究竟有什么作用,人们为什么要去研究那些交换律,结合律残缺不全的代数系统呢,还有讲到伽罗华对方程根的证明,却半个字没看见书上有证明呢,甚至连阿贝尔经典论文也重来不知道哪里有,难道我们中国根本没有吗

恶心的狐狸

先要明白什么是代数系统。说白了，就是一个集合与集合上的运算的综合体。理论上会出现非常非常多古怪的代数系统。一个运算满足交换律其实对于代数系统而言，这应该属于“特例”了。也就是说其实更多的，更一般的运算是没有什么这个律、那个律可言的，但我们总不能抛弃一般，而只研究特殊吧。

恶心的狐狸

举个例子吧。
其实大多数代数系统是不满足交换律的，就举我们都玩过的魔方。
我们可以为它的变换构造一个代数结构，旋转变化是代数结构里的元素，连续两个旋转变化之间用乘法。可以证明，这是一个群。可是这个群里并无交换律可言。

恶心的狐狸

另外，对于代数方程的根式求解问题，后面的Galois理论，域论的部分是会讲到的，除非你的教材里面不讲。代数方程的根式求解问题直接导致抽象代数诞生，一般的抽象代数教材里都会提到这段引以为豪的分析，但是它的证明却要在你懂群论、代数扩张、分裂域、Galois群等的基础之上的