方程X^n+Y^n=Z^n(n>1)的解法（终极证明完整版）

fmcjw

fmcjw 发表于 2015-10-15 20:42
其实这个解是比较重要的，人们一般认为勾股数组是“奇，偶，奇”的结构形式，但由此解可知，勾股数组也可 ...

其实这个解是比较重要的，人们一般认为勾股数组是“奇，偶，奇”的结构形式，但由此解可知，勾股数组也可以是“偶，偶，偶”或“偶，奇，奇”的结构形式。

但是，为何没有奇，奇，偶的结构形式呢？即勾股数组中X,Y为什么不能同为奇数呢？这是可以证明的。

fmcjw

         陈氏定理：    对于方程；Z^n=X^n+Y^n,n=2:
(A):一个奇数的平方数可以分成一个奇数的平方数与一个偶数的平方数之和；
(B):一个偶数的平方数不可以分成两个奇数的平方数之和；
(C):一个偶数的平方数可以分成两个偶数的平方数之和；
                            对于方程；Z^n=X^n+Y^n,n >2:
1:  一个奇数的n次幂不可以分成一个奇数的n次幂与一个偶数的n次幂之和；
2:  一个偶数的n次幂不可以分成两个偶数的n次幂之和；
3：一个偶数的n次幂不可以分成两个奇数的n次幂之和；

fmcjw

有的朋友认为勾股数组的结构形式不能排除有奇，奇，偶的结构形式，因而不能由勾股定理来证明费马定理。显然这种认识是错误的。因为事实上勾股数组的结构形式是完全可以排除有奇，奇，偶的结构形式的。

奇数的世界

fmcjw 发表于 2015-10-16 13:46
“但是如果按照你思路来走，必须要证明这种情况，才算完整。”

对于n=2m+1这种情况的相关证明在本文中已 ...

你错了。当n=2m时，是n代表偶数的情况。而当n=2m+1时，是n代表奇数的情况。你不能只证明代表偶数的情况，不管你怎么变。

奇数的世界

fmcjw 发表于 2015-10-16 12:50
“对于X^4+Y^4=Z^4，X=3,Y=4,Z=337^1/4当然是X^4+Y^4=Z^4解。不信你将解代入方程看，是否相等？
只不过Z ...

当然是不定方程，只不过没有正整数解而已。你的方程中的解的X,Y,Z也不是有两个不是正整数吗？难道你的方程就不是不定方程？

fmcjw

fmcjw 发表于 2015-10-16 12:50
“对于X^4+Y^4=Z^4，X=3,Y=4,Z=337^1/4当然是X^4+Y^4=Z^4解。不信你将解代入方程看，是否相等？
只不过Z ...

楼主| 发表于 2015-10-16 12:50 | 只看该作者
奇数的世界 发表于 2015-10-16 10:07
对于X^4+Y^4=Z^4，X=3,Y=4,Z=337^1/4当然是X^4+Y^4=Z^4解。不信你将解代入方程看，是否相等？
只不过Z^2 ...

“对于X^4+Y^4=Z^4，X=3,Y=4,Z=337^1/4当然是X^4+Y^4=Z^4解。不信你将解代入方程看，是否相等？
只不过Z^2=337^1/2不为整数罢了。”

你这是偷换概念，3，4只是你设定或给定的两个整数，此时原方程已成为3^4+4^4=Z^4,对其求解而得出Z=337^1/4。请问先生方程3^4+4^4=Z^4还能称为不定方程吗？
你若以这样的思路去证费马定理就不仅仅是很难很遥远的了，而是在做无用功啊。
点评

奇数的世界
本来你这种思路来证明完整费马定理就很遥远，所以原来说过差得远的话，当时你还不服，现在你明白了吧？所以我不建议你用这样的思路证明。  发表于 2015-10-16 19:40


不知你是真不懂还是装糊涂，再次请问方程3^4+4^4=Z^4还能称为不定方程吗？3，4你是如何求得的？难道不是你给定的？这样可给定的整数X，Y有无穷个，你就慢慢去找来再求出z看看能不能证明费马定理吧。你愿意做这样的无用功谁也拦不住。

fmcjw

87654321 发表于 2015-10-17 01:16
网友“奇数的世界”，别再说了，楼主不会认错的！……

认错？认什么错？谁该认错？“奇数的世界”说方程3^4+4^4=Z^4“当然是不定方程"，请问先生难道你也认为方程3^4+4^4=Z^4“当然是不定方程"吗？

fmcjw

奇数的世界 发表于 2015-10-16 19:30
你错了。当n=2m时，是n代表偶数的情况。而当n=2m+1时，是n代表奇数的情况。你不能只证明代表偶数的情况， ...

通过对X^2m+Y^2m=Z^2m求解得出其解为  
                    X^m=(2w+1)
               ｛  Y^m=(2w^2+2w)                                           (N)                                    
                    Z^m=(2w^2+2w+1)
     

                    X^m=(2w+2)
              ｛  Y^m=(w^2+2w),                                             (N)'
                    Z^m=(w^2+2w+2).
当m>1,由n=N+1的定义可令n=m则有
                 X^m+ Y^m= Z^m        （m>1=2，3，4，...)
对于这个方程的m它是代表奇数的情况还是代表偶数的情况？当m=2k+1时 X^m+ Y^m= Z^m变成
                 X^2k+1+Y^2k+1=Z^2k+1          (n=2k+1)
由解 (N)，  (N)'可知 X^2k+1+Y^2k+1=Z^2k+1  没有正整数满足它，难道n=m=2k+1不是n代表奇数的情况吗？

奇数的世界

fmcjw 发表于 2015-10-17 00:02
楼主| 发表于 2015-10-16 12:50 | 只看该作者
奇数的世界 发表于 2015-10-16 10:07
对于X^4+Y^4=Z^4，X ...

“当然是不定方程？” 你确定3^4+4^4=Z^4是不定方程？对于X^4+Y^4=Z^4给定了X,Y然后求Z的方程3^4+4^4=Z^4是不定方程？
我去查了不定方程的定义：不定方程（丢番图方程）是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等）的方程或方程组。
X=3,Y=4,Z=337^1/4是不定方程X^4+Y^4=Z^4的一组解。同样，X=7,Y=9,Z=6561^1/4也是不定方程的一组解。
这没有任何问题。
而你不定方程X^2m+Y^2m=Z^2m求解得出其解为  
          X^m=(2w+1)
               ｛  Y^m=(2w^2+2w)                                           (N)                                    
                    Z^m=(2w^2+2w+1)
当m=2, w=1时，X=3^1/2, Y=2, Z=5^1/2也是不定方程X^4+Y^4=Z^4的一组解。只不过你的X^m，Y^m，Z^m为整数罢了。

奇数的世界

“假设证明了n=2m+1时，费马定理成立，就等于证明了n=2（2m+1）时费马定理成立。现在本文证明了n=2（2m+1）时费马定理成立，难道n=2m+1时费马定理就不成立了？”

假设证明了n=2m+1时，费马定理成立，就等于证明了n=2（2m+1）时费马定理成立。
错！ 证明了n=2m+1时，费马定理成立，并不等于证明了n=2（2m+1）时费马定理成立。因为n=2m+1代表的n为奇数的情况。n=2（2m+1）还是代表n为偶数的情况。你不要混为一谈。

现在本文证明了n=2（2m+1）时费马定理成立，难道n=2m+1时费马定理就不成立了？”
费马定理当然成立，但是需要你证明。你只证明了n=2（2m+1)，这还是n为偶数的情况，n=2m+1是n为奇数的情况，你没有给出任何证明，这需要你的证明的，当然这个情况证明会很困难，但没有办法，必须要证。