\(\Large\textbf{从经典力学与开普勒行星运动三律看数学}\)

elim

本主题介绍数学在天体力学中的角色。首先陈述开普勒定理及万有引力定律.

十六世纪后期, 丹麦天文学家第谷·布拉赫(Tycho Brache)以坚韧不拔的毅力,
对太阳系的行星进行了长达20年之久的精细观测,  积累了丰富的观测资料.
他的助手, 德国人开普勒 (Johanne Kepler)曾参与部分观测工作并继承了他
的全部观测数据. 在此基础上, 开普勒又进行了长达20年的研究总结出关于行
星运动的三大定律.

开普勒第一定律 行星绕太阳公转的轨道是椭圆, 太阳位于其焦点之一.

开普勒第二定律 从太阳中心指向行星的有向线段(向径)在相同时间内
                           扫过相同的面积(向径的面积速度是常数)。

开普勒第三定律 各行星公转周期的平方与其椭圆轨道长轴的立方之比
                           为常数.

牛顿根据对开普勒行星公转三定律的分析, 判断行星应受到一个指向太阳的力
的作用. 这力的大小与行星的质量成正比, 与距离的平方成反比.经缜密思考,牛
顿悟出这力就是存在于一切物体间的相互吸引力(重力), 发现了万有引力定律:

万有引力定律 任何两个物体都相互吸引,引力沿二物体连线作用,其大
                          小与物体的质量之积成正比, 与二物体间的距离成反比.

elim

本贴介绍一些数学预备知识，并从开普勒三律推出引力公式。

elim

令人震撼的是，即使没有第谷的观测和开普勒的研究归纳，
开普勒行星运行三定律也可以从牛顿力学和引力公式推出来！

elim

在继续介绍讨论 开普勒行星运动三定律之前，我们首先注意到以下两点：
1）数学是现代科学的语言；确切地说，科学理论以数学的方式表达。
2）数学是科学理论推演的核心工具和逻辑依据。

下面附上开普勒行星运动三定律的维基百科词条

elim

我将进一步'科普'1-3楼的结果。

椭圆的极坐标方程
设\(a > b > 0,\;c = \sqrt{a^2-b^2}\). 则椭圆 \(\small\dfrac{(x+c)^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 的极坐标
等价方程是 \((\dagger)\;\small r+\sqrt{r^2+4c^2+4rc\cos\theta}=2a.\;(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)\)
\((\dagger)\)由余弦定理及椭圆定义得到。对\((\dagger)\)两边同减\(r\)再平方，整理后得到
\(\small r = \dfrac{p}{1+\epsilon\cos\theta}\;(p={\large\frac{b^2}{a}},\;\epsilon={\large\frac{c}{a}})\)

\(\dot{z} = z_ru+z_{\theta}v,\;\ddot{z}=z_{rr}u+z_{\theta\theta}v\) 用来强调\(z\)的速度，
加速度的\(\langle u,v\rangle\)正交分解.  它们不参与进一步的推演论证.

关于面积速度, 给出图解如下：

elim

本人希望通过开普勒定律的推导，说明数学在科学研究中的极端重要性。
欢迎参与有关讨论，欢迎提问。请不要插入与主题无关的帖子。谢谢

二楼三楼的材料是我对张筑生先生的【数学分析新讲】第一册中相同内容
的改编。这些内容最早来自牛顿的【自然哲学的数学原理】可以说是数学
指导，建立科学理论的最成功的典范。可以这么说，看不懂本主题的人，
对数学在人类认识自然的活动中的重要性基本没啥感受。

没有精确，就没有推理，没有椭圆方程，第谷的观测就不会上升为开普勒
定律。没有解析几何，微分理论，万有引力公式就推不出开普勒三大行星
运动定律。

没有什么实践能够上升到理论。jzkyllcjl 践行吃狗屎不行，蠢疯践行自蛋
自捣更不行。

elim

Mathematical 先生潜水很长时间了。说说你的看法？
还有爱好实践的 jzkyllcjl, 说说你的现实数量大小和这里的理想数量谁是决定性的，为什么？

elim

elim

我国的【夏商周断代工程】花了不少银子．断送给结构性腐败之余，
靠天体力学及天文学和盗墓人拍卖的一套青铜编鐘上的铭文，还是
有了一些局部的成就. 测不准, 没法测, 却可算得足够准．而足够准的
理论根据竟是纯数学的绝对准．这里面的辩证法值得注意．

elim

请天文爱好者永远详细推导出开普勒行星运动三定律的数学表达式。