[原创]标准系数线性方程解的数目与系数和常量的关系

白新岭

[watermark]我在探讨从连续的自然数中，任取m个自然数做和，抽得m个自然数的和为S，这样的抽法有多少种的时候遇到
了这样的问题：对于线性方程1x+2y+3z+……+mu=S有多少组正整数解的问题。这里1，2，3，……m为已知的
系数，且属于正整数；x,y,z,……u为未知数，S为已知常量。问什么说是“标准系数线性方程”呢？因为
对于任何事物的划分都有一个标准，线性方程有多种形式（从系数上分析），我是把连续正整数做线性方程
的已知系数（且从1开始）的方程称谓：标准系数线性方程；其余的线性方程都为普通系数线性方程。这样
判断所给的线性方程是不是标准系数线性方程就有了标准，是几元线性方程m就是几。例如3元标准系数线性
方程，m=3.表示形式是，1x+2y+3z=S。
对于从连续的自然数中，任取m个自然数做和，抽得m个自然数的和为S，这样的抽法有多少种的问题与标准
系数线性方程解的数目有什么关系，应这样分析，从自然数中任取m个自然数，这样抽得的自然数肯定没有
一样的2个数，而且有唯一的大小顺序，所以可以设u>……>z>y>x,x+y+z+……+u=S.我们合并这两个条件，
即设u=U+……+Z+Y+X,z=Z+Y+X,y=Y+X,x=X,x+y+z+……+u=S,→→m*X+（m-1）*Y+（m-2）*Z+……+U=S，习惯
上，写成1x+2y+3z+……+mu=S。所以，抽法数等于标准系数线性方程正整数解的数目。
现在我们做一个初步分析，以后在扩展它的用途。对于标准系数线性方程有正整数解的充分必要条件是：
S≥m*(m+1)/2.  现在假设S≥m*(m+1)/2，那么它有多少组正整数解呢？我们这样分析，现在有S个物体排成
一排，把这一排要想分成m段，那么只需要从S-1个空隙中放m-1个挡板即可，所以共有C(S-1,m-1)种方法，
这样放法，会有多少种情况呢，有一种是所得到m段都有不同个数的物体构成；有2段是相同的物体构成，其余
段是有不同个数的物体构成；有3段是相同的物体构成，其余段是有不同个数的物体构成；……；还有其中2段
是相同的物体构成，另外2段相同，其余段是有不同个数的物体构成；……。等等好多情况。只有第一种情况
是最多的一种放法，当有m元时，这样的一组符合要求的抽法，会有m!种放法；其它的就少的多了，即是有2段
是相同的物体构成，其余段是有不同个数的物体构成的方法也只有m!/2种放法.所以,标准系数线性方程解的数目
最多有C(S-1,m-1)/m!.而且永远也取不到最多，因为在设计模型时，有好多情况是多出来的，除了m段都有不同的
物体构成外，其余的都是多出来的。所以符合条件的抽法数少于C(S-1,m-1)/m!。举些例子，当m=2时，
则方程为1x+2y=S,所以它的解小于C(S-1,m-1)/m!=C(S-1,2-1)/2!=C(S-1,1)/2.设S=100，则C(S-1,1)/2=C(99,1)/2
，=49.5.而从自然数中任取2个数字,其和为100的为49组,分别为（1，99）,(2,98),……,(49,51).对于（50，50）
却不是方程的解,而(99,1)也不是方程的解.当y=1,x=98;把此数对转换成2个自然数,得Y=y=1,X=x+y=98+1=99.
当m=3时,方程为1x+2y+3z=S,所以它的解小于C(S-1,m-1)/m!=C(S-1,3-1)/3!=C(S-1,2)/6.设S=100,则C(S-1,2)/3!=
C(100-1,2)/3!=99*98/2/6=808.5.而从自然数中任取3个数字,其和为100的为784组.当元数增多时，它们的差距会
变大。未完，待续。白新岺   2009年2月2日
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