[原创]luyuanhong教授能不能回答一个问题-关于整数拆分的

白新岭

[watermark]我以前对从n个连续自然数中（从1开始）任抽m个数，这m个数的和有nm-m^2种，那么所有的抽法是如何分布的。分析此问题时用到了这样的方程，它是m元一次线性正整数系数方程，形式：x+2y+3z+....+mu=n,从1至m为已知系数，x,y,z,....,u是未知数，现在用S(n,m)表示前边方程的正整数解的组数数目。我从网上知道，P(n)表示整数的拆分数目。现在有问题，如何证明后边的恒等式，P(n)=∑（m从1到n）S(n+m*（m-1）/2,m)，  即P（n）的值正好是n个方程的正整数解的组数数目的总和。请luyuanhong教授回复。有劳luyuanhong教授，先说声，谢谢luyuanhong教授，祝教授身体健康，全家幸福美满。[/watermark]

白新岭

敬请对数论感兴趣的数学爱好者解证。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/01/15 05:04pm 第 1 次编辑]

关于这个问题的解答，请看我在《数学中国》《基础数学》中发表的帖子：
“正整数的不同拆分种数的计算公式”
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=5314

白新岭

已细心的读过luyuanhong教授的帖子：“正整数的不同拆分种数的计算公式”。回帖中又提了一个新问题，九连环与S（N,3)的一种关系式。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/01/18 01:58pm 第 2 次编辑]

下面引用由白新岭在 2009/01/16 05:13pm 发表的内容：
这里还有一个比较难的问题，现在高中课本中介绍九连环的内容，当完成奇数个环的解开或挂起时需要的步骤为：（1/3）*[2^(n+1)-1] ，用S(N,3)表示方程1x+2y+3z=N的正整数解的组数数目，求证对于任意一个n值，都有唯一的一个N值与它对应，使等式成立，：（1/3）*(2^(2n)-1)=S(N,3).或者说，此方程有无数组正整数解。对于任意的一个n都有一组正整数解。但是n=1时例外，有两种情况，一个是N=6,另一个是N=7,这2个值都能使等式成立。当n>1时不会有2个N值与n对应。后边是几组小点的解（n,N)=（2，11），（3，19），（4，35），（5，67），（6，131），（7，259），（8，515），（9，1027），（10，2051）。

这个问题解答如下：

白新岭

很是感谢luyuanhong教授的回复。我是在看现行的高中数学课本时时发现的问题（因为我对方程1x+2y+3z=N的正整数解的组数数目了解的比较多，小的N值对应的解的个数也记住了一些）。我是一个高中毕业生，对数论知识只知其一，不知其二。所以自己是没有方法来解此题。感觉有些难，不过对于luyuanhong教授你来说还不算难。春节就要到了，向luyuanhong教授拜个年：祝luyuanhong教授牛年吉祥，事业有成，全家幸福美满。

熊一兵

下面引用由白新岭在 2009/01/18 00:01pm 发表的内容：
　...我是一个高中毕业生，对数论知识只知其一，不知其二

我以为你有一定的数学天才,完全可以自学完成大学数学课程,成为中国的华罗庚第二，当然我现在还不具有我的家门熊庆来先生当时的学术地位。
不然，熊一兵与白新岭将成为现代版的熊庆来与华罗庚

白新岭

非常感谢熊一兵对我的厚望，支持，鼓励。为了不负熊一兵先生的期待，我一定自学大学的数学知识，为数学，为国家做点贡献。春节已近，祝熊一兵先生牛年吉祥，举家幸福美满。预祝你成功-用英文出版《概率素数论》。我会尽早发表2素数合成偶数的概率不变性的全文，第一时间发到你的电子邮箱。此论断，可以预言任何含素数因子Pi的偶数类都占整个偶数的素数对的总数目的1/(Pi-1).，如含3的偶数类，即6n的偶数占全体偶数的素数对的总数目的1/（3-1）=50%；5的，占1/(5-1)=25%;7的，占1/（7-1）=1/6；....。不含素数因子Pi的偶数类都占整个偶数的素数对的总数目的(P-2)/(P-1)^2,如不含3的偶数，有2类，一类是6n-2,另一类是6n-4,这二类都是各占（3-2）/(3-1)^2=1/4=25%.......此论断最好的结果是，对于2^k类的偶数，它的平均系数是孪生素数常数，所以这类偶数的素数对为0.6601*N/LN(N)^2.另外对于任意一个偶数来说（此偶数需大于1500000），如果扩大2倍，则素数对差不多也增加2倍，这也说明素数合成偶数完全符合概率-独立条件概率。

白新岭

有没有用方程的解的个数与排列组合相结合来证明此命题的方法（或者改变方程的定义域，即分析不同组合的方程的非负整数解与正整数解的关系，还可以用拆分方程法来解证此命题）。

白新岭

为了有助于对加法合成数目函数中提到P(n)的生成函数的理解，特顶起此贴。