正三角形 ΔDEF 三顶点分别在 ΔABC 三条边上，BD=CE=AF，求证：ΔABC 也是正三角形

ccmmjj · 发表于 2016-2-9 10:11

如图，已知三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ＝ＡＦ，且三角形ＤＥＦ是正三角形，求证：三角形ＡＢＣ也是正三角形。

ccmmjj · 发表于 2016-2-12 01:42

没人做？这是一个网上的题目。我想到了一个巧妙的方法，需要用到以下事实。
如图：圆Ｏ外的点Ａ到圆上点Ｂ的距离，当∠Ｏ越大时ＡＢ越大，或∠Ｂ越小时ＡＢ越大。这个证明很简单，就不写了。由于ＯＢ是定值，这个结论也可以写作：圆Ｏ外的点Ａ，当∠Ｏ越大时ＡＢ+ＯＢ越大，或∠Ｂ越小时ＡＢ+ＯＢ越大。

ccmmjj · 发表于 2016-2-12 02:19

现在我们来证明这个结论。不妨先假设∠Ａ>∠C>∠Ｂ是最小的，以Ｅ为圆心，ＥＣ为半径作圆。作△DA'E≌△EAF,△DB'E≌△FBD。这时候可知DB'+B'E>DC+CE>DA'+A'E;当然这就是FB+BD>DC+CE>EA+AF.由已知，得出AB>BC>AC,于是有∠C>∠Ａ>∠Ｂ.这就产生了矛盾。

ccmmjj · 发表于 2016-2-12 02:33

现在问题在等腰三角形的否定了。不妨设∠Ａ＝∠C但不等于∠Ｂ。　这时A'与Ｃ重合。DC+CE=DA'+A'E=EA+AF,于是可得ＢＣ＝ＡＣ，所以∠Ａ＝∠Ｂ，这又是一个矛盾。

ccmmjj · 发表于 2016-2-12 02:42

引理的点Ａ在圆外，稍做修改，可以知道Ａ在圆内或圆上有类似结论，可以对不同情况作全面证明，这点就留给有兴趣的同志做练习了。

波浪 · 发表于 2018-2-20 11:44

哦，原来ccmmjj先生早有研究，待俺慢慢拜读。谢谢。

波浪 · 发表于 2018-2-20 12:04

此题如果把三角形问题，改成凸四边形问题，能否有类似的结论？

ccmmjj · 发表于 2018-2-20 14:05

波浪发表于 2018-2-20 04:04
此题如果把三角形问题，改成凸四边形问题，能否有类似的结论？

不客气，一般我只做基础证明，不爱做复杂推论，所以没考虑过。

波浪 · 发表于 2018-2-21 11:37

本帖最后由波浪于 2018-2-21 03:44 编辑

内接正三角形问题

任在深 · 发表于 2018-2-21 16:58

波浪发表于 2018-2-21 11:37
内接正三角形问题

很好哇！
按部就班，有点复杂？
如果从结构数学的角度出发就简单多了。

		自动登录	找回密码
密码			注册

正三角形 ΔDEF 三顶点分别在 ΔABC 三条边上，BD=CE=AF，求证：ΔABC 也是正三角形

本帖子中包含更多资源

本帖子中包含更多资源

本帖子中包含更多资源

点评

本帖子中包含更多资源

本帖子中包含更多资源

点评