赫渥特的地图着色公式同样也适用于亏格为0的平面图

雷明85639720

赫渥特的地图着色公式同样也适用于亏格为0的平面图
——回复12341234等一伙顽固派
雷  明
（二○一五年元月十日）

有些人说赫渥特的地图着色公式不适用于亏格为0的平面图，特别是在最近名叫12341234的家伙，一次又一次的疯狂的反对我认为该公式同样也适用于亏格为0 的平面图的结论。
以前各文献上都只是直接给出了赫渥特的着色公式，均没有推导和证明。前些时间我直接从多阶曲面上的图的欧拉公式推导出了赫渥特的地图着色公式，式中当图的亏格为0 时，图的色数的确是小于等于4的。所以我认为这就是平面图（亏格为0 的图）的四色猜测。因为亏格为0 的平面图同样也适用于多阶曲面上的图的欧拉公式，当然从其中推导出的赫渥特地图着色公式也就应适用于亏格为0 的平面图。但一直遭到12341234的疯狂反对。我现在也就只好用平面图的欧拉公式来直接推导平面图的色数了。
哈拉里也已经说过（我说是哈拉里说的，象12341234这些总跟在别人后面跑、看书不求甚解的人，可能就不会反对了。如果我不说是前人说的，可能他们就又要反对我了。因为在他们眼里，爱好者们所说的一切都是错的。）：任何图的最小完全同态的顶点数就是图的色数。那么我们现在就直接用平面图的欧拉公式求出任何平面图的最小完全同态的顶点数的值，就应知道了任何平面图的色数是多少了。
1、用平面图的欧拉公式直接推出法朗西斯的四色猜测
我们已经知道在任何图中都有3f≤2e即f≤2e/3的关系，任何完全图的边与顶点有e＝v（v－1）/2的关系。其中v、e、f分别是图的顶点数、边数和面数。
设平面图的最小完全同态（这也是一个图）的顶点数是v，我们先把f≤2e/3代入到平面图的欧拉公式v＋f－e＝2中，得
v＋2e/3－e≥2
3v＋2e－3e≥6
3v－e－6≥0
再把e＝v（v－1）/2代入到上面的不等式3v－e－6≥0中，得
3v－v（v－1）/2－6≥0
6v－v2＋v－12≥0
7v－v2－12≥0
v2－7v＋12≤0
解这个关于平面图的最小完全同态的顶点数v的一无二次不等式，得
        v≤（－（－7）±√（（－7）2－4×（－12）））/2
         ≤（7±1）/2
即
        v1≤4
        v2≤3
这两个根中，v1≤4包含v2≤3，实际上只有一个根，即v1≤4。因为这里的v是任意平面图的最小完全同态的顶点数，完全同态也是完全图，而在平面图中完全图也只有K1, K2, K3, K4四种，它们的顶点数分别是1、2、3、4，这就是说任何平面图的最小完全同态的顶点数都是小于等于4的。按哈拉里说的任何图的最小完全同态的顶点数就是该图的色数的结论，那么任何平面图的色数也就是小于等于4 的了，即γ平（γ0）≤4。这就是四色猜测。
请12341234的眼睛睁得大大的看一下，是不是这样的呢。前面的推导过程中还有什么错误吗。
为了对比，我们现在再把用多阶曲面上图的欧拉公式直接推导赫渥特的地图着色公式的过程重演一遍。
2、用多阶曲面上图的欧拉公式推出赫渥特的地图着色公式
设任意图的最小完全同态的顶点数是v，我们先把f≤2e/3代入到多阶曲面上图的欧拉公式v＋f－e＝2－2n（这里n是多阶曲面的亏格，也是图的亏格）中，得
v＋2e/3－e≥2－2n
3v＋2e－3e≥6－6n
3v－e－6（1－n）≥0
再把e＝v（v－1）/2代入到上面的不等式3v－e－6（1－n）≥0中，得
3v－v（v－1）/2－6（1－n）≥0
6v－v2＋v－12（1－n）≥0
7v－v2－12（1－n）≥0
v2－7v＋12（1－n）≤0
解这个关于图的最小完全同态的顶点数v的一元二次平等式，得
        v≤（－（－7）±√（（－7）2－4×（－12（1－n））））/2
         ≤（7±√（1＋48n））/2
即
        v1≤（7＋√（1＋48n））/2
        v2≤（7－√（1＋48n））/2
因为图的顶点数必须是正数，而在v2≤（7－√（1＋48n））/2中，当n≥1时，则v2≤0，不符合题意，舍去不要。所以该一元二次不等式只有一个根v1≤（7＋√（1＋48n））/2。又因为图的顶点数必须是整数，所以对v1≤（7＋√（1＋48n））/2还得向下取整，即有
        vn≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞
式中＜ ＞表示其中的数字向下取整。也由于任何图的色数等于其最小完全同态的顶点数，所以上式就可以表示成
γn≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞
这就是赫渥特的地图着色公式。
    3、赫渥特的地图着色公式是适用于亏格为0 的平面图的
赫渥特的式中当n＝0时，就有γn≤4，这也就是四色猜测。这与上面1中得到的结论是一模一样的。这完全能够说明赫渥特的地图着色公式是适用于亏格为0 的平面图的。不仅如此，因为任何图的最小完全同态的亏格一定小于等于原图的亏格，所以任何平面图的最小完全同态的亏格也一定是等于0的，仍是一个平面图。而平面图中也只有K1，K2，K3，K4四个完全图，其顶点数都小于等于4的，当然其色数也一定小于等于4的。这也同样说明了赫渥特的地图着色公式是适用于亏格为0 的平面图的。
李慰萱翻译的哈拉里的《图论》，李建中翻译的韦斯特的《图论导引》以及范益政翻译的沙特朗的《图论导引》中虽然都说了当图的亏格为0时，赫渥特的地图着色公式是不适用的，但都没有给出证明。从以上的研究可以看出，正好说明了当图是亏格为0 的平面图时，赫渥特的地图着色公式仍然是适用的。
4、不能用杨斯的完全图亏格公式去证明赫渥特的地图着色公式
在李慰萱翻译的哈拉里的《图论》，李建中翻译的韦斯特的《图论导引》以及范益政翻译的沙特朗的《图论导引》中，都有用杨斯的完全图亏格的公式去证明赫渥特的地图着色公式的一段，完全是一个模式。他们都没有看到这两个公式都是从同一个欧拉公式中推导而来的，且是相互可以转化的，两个公式是互为反函数的关系。用一个去证明另一个，实际上是犯了循环论证的错误。
在以上的2中，当得到一元二次不等式v2－7v＋12（1－n）≤0后，若对其中的v求根，所得到的正根再向下取整，就是赫渥特的地图着色公式vn≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞；若对其进行因式分解时，所得到的结果再向上取整，就是杨斯的完全图的亏格公式n≥［（v－3）（v－4）/12］，式中［ ］表示其中的数字向上取整。
产生他们用杨斯公式去证明赫渥特公式的原因，就是因为他们都不知道这两个公式原来都是由同一个一元二次不等式得到的两个不同表达方式的公式（因为这两个公式最早只是由赫渥特和杨斯给出了公式，并没有给出推导的过程）。现在我们已经找到这两个公式的来龙去脉，那么就应该否定他们的证明。对于赫渥特地图着色公式的证明就应从欧拉公式开始，直接推导出赫渥特公式。这样做也可以把赫渥特原来对他的公式所符加的条件（n＞0）去掉，使之变成一个对任何亏格都适用的公式。当n＝0时它就是四色猜测。

雷  明
二○一五年元月十日于长安

注：此文已于二○一五年元月十日发表在《中国博士网》上。


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