不画图，不着色，也可以证明四色猜测是正确的

雷明85639720

不画图，不着色，也可以证明四色猜测是正确的
雷  明
（二○一五年元月十一日）

因为任何图的色数都等于其最小完全同态的顶点数以及任何图的最小完全同态的亏格一定小于等于其原图的亏格，所以平面图的最小完全同态的亏格也一定是0，加上平面图中的完全图只有K1，K2，K3和K4四种，其顶点数都不大于4，所以又有任何平面图的色数也就不大于4的结论。
1、图的色数等于其最小完全同态的顶点数
图的最小完全同态是通过若干次对图中不相邻的顶点同化而来的。最小完全同态中的每一个顶点都是代表着图中若干个不相邻的顶点，不相邻的顶点着同一种颜色是符合要求的，所以最小完全同态有多少个顶点，其原图着色时就得用多少种颜色。一个图由于同化的方法不同可以得到顶点数不同的完全同态，其中顶点数最少的那个才是原图的最小完全同态。比如一条有4个顶点的道路，把两个端点顶点（不相邻）同化在一起时，就得到一个K3图，而把间隔为1的两顶点同化在一起时，就得到一个K2图，这个K2图才是这条有4个顶点的道路的最小完全同态。由此可知，正确的同化方法应是：所同化的两不相邻顶点间的距离应是最短的，即两顶点间只间隔着一个别的顶点。这样才能保证同化的最后得到的结果是正确的，即才能得到原图的最小完全同态。
2、图的最小完全同态的亏格小于等于其原图的亏格
还是因为图的最小完全同态是通过若干次对图中不相邻的顶点同化而来的，而同化的过程一直又是在与原图同亏格的曲面上进行的，所以该最小完全同态的亏格一定是不会大于原图的亏格的，否则原图的亏格就要变大了。但原图的亏格却不一定就是该最小完全同态的亏格。虽然该最小完全同态仍嵌入在与原图同亏格的曲面上，但这个曲面不一定就是该最小完全同态所能嵌入的亏格最小的曲面。因此就有图的最小完全同态的亏格一定是小于等于原图的亏格的结论。比如说K3，3图的亏格是1，但它的最小完全同态K2的亏格却是0；K5图的亏格是1，它的最小完全同态仍是原图K5，亏格也是1。
3、用平面图的欧拉公式证明四色猜测是正确的
我们已经知道在任何图中都有3f≤2e即f≤2e/3的关系，任何完全图的边与顶点有e＝v（v－1）/2的关系。其中v、e、f分别是图的顶点数、边数和面数。
因为任何图的色数都等于其最小完全同态的顶点数，所以我们就设平面图的最小完全同态（这也是一个图）的顶点数是v。我们先把f≤2e/3代入到平面图的欧拉公式v＋f－e＝2中，得
v＋2e/3－e≥2
3v＋2e－3e≥6
3v－e－6≥0
再把e＝v（v－1）/2代入到上面的不等式3v－e－6≥0中，得
3v－v（v－1）/2－6≥0
6v－v2＋v－12≥0
7v－v2－12≥0
v2－7v＋12≤0
解这个关于平面图的最小完全同态的顶点数v的一无二次不等式，得
       v≤
          ≤
即
         v1≤4
         v2≤3
这两个根中，v1≤4包含v2≤3，实际上只有一个根，即v1≤4。因为这里的v是任意平面图的最小完全同态的顶点数，完全同态也是完全图，而在平面图中完全图也只有K1, K2, K3, K4四种，它们的顶点数分别是1、2、3、4，这就是说任何平面图的最小完全同态的顶点数都是小于等于4的。按哈拉里说的任何图的最小完全同态的顶点数就是该图的色数的结论，那么任何平面图的色数也就是小于等于4 的了，即γ平（γ0）≤4。这就是四色猜测。
4、用图的最小完全同态的亏格小于等于其原图的亏格证明四色猜测
又根据任何图的最小完全同态的亏格都一定是小于等原图的亏格的结论，平面图的最小完全同态的亏格也一定仍然是0，即仍然是平面图。在平面图中完全图也只有K1, K2, K3, K4四种，它们的顶点数分别也是1、2、3、4，这就是说任何平面图的最小完全同态的顶点数也都是小于等于4的。同样按哈拉里说的任何图的最小完全同态的顶点数就是该图的色数的结论，那么任何平面图的色数也就是小于等于4 的了，即γ平（γ0）≤4。这也就是四色猜测。
5、赫渥特的地图着色公式对于亏格为0的平面图也是适用的
仿照上面1中的方法，也可以从多阶曲面上的图的欧拉公式直接推导出赫渥特的地图着色公式γn≤ ，式中n是曲面或图的亏格。当图的亏格n＝0时，其计算的结果——亏格为0 的平面图的色数——也是小于等于4的，即γ平（γ0）≤4。可见，赫渥特的地图着色公式对于亏格为0 的平面图同样也是可以适用的。赫渥特的地图着色公式的推导过程，读者可以自已试着推导一下。

雷  明
二○一五年元月十一日于长安

注：此文已于二○一五年元月十一日在《中国博士网》上发表过。