五论华罗庚的《从杨辉三角谈起》 ——沈括的积罂公式 倪则均，2015年2月16日。

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1，华罗庚的不懂装懂。
华罗庚在他的《从杨辉三角谈起》的第三节“开方”里，既没有论述秦九韶的“正负开方术”，更没有深入的去探讨李冶的半符号代数，这样的做法，实际上是反映了华罗庚，对于“开方术”在中国数学里的重要地位，似乎有些浑然不知。其实，宋代以前的中国数学，可以说完全是“开方术”的一统天下，这是古代中国数学对于“易卦三角”横向性能的应用。
然而宋代以后的中国数学，则出现了杨辉的“垛积术”，它反映了“易卦三角”的斜向规律，由于杨辉的“垛积术”，与我们今天的微积分是密切相关的，所以杨辉的“垛积术”，经过了朱世杰的引申，李善兰的扩张，历经六百多年的不断地发展壮大。形成了我国古代数学里，一道非常独特的风景线，完全具有后来居上的趋势。
华罗庚在他的《从杨辉三角谈起》的第四节，介绍了与杨辉的“垛积术”密切相关的“高阶等差级数”的问题。然而第五节的“差分多项式”，和第六节的“逐差法”，则与杨辉的“垛积术”，几乎是没有多大的关系。第七节的“堆垛术”，华罗庚只给出四个例题，例1可谓开门见山，开始之初立即就提出了沈括的积罂公式的问题，然而，华罗庚的证明却运用的是杨辉的“垛积术”。例2则是反过来再介绍杨辉的三角垛，似乎一切的一切全给搅反了。
杨辉的“垛积术”，完全是在沈括“隙积术”的基础上发展起来的。杨辉在他的《详解九章算法》的商功章，只给出了四个垛积公式，它们是三角垛、四隅垛、方垛垛和果子垛，而果子垛实际上就是沈括的酒坛堆积。当然，沈括的积罂公式，是决不能运用杨辉的果子垛公式去予以证明的。沈括的积罂公式，只能运用刘徽的“出入相补术”去予以证明，运用二百多年后的果子垛去证明，只能证明了华罗庚，对于我国古代数学的无知。
其实，如果按照华罗庚的做法，运用杨辉的果子垛去证明沈括的积罂公式，粗看起来好象比较简捷。然而它所带来的恶果，却是让你永远不知道，杨辉的“垛积术”到底是从何而来。我总觉得，我们现在必需认真搞清楚下面两个关键问题：第一个问题是，华罗庚到底知道不知道，沈括的积罂公式，必须运用“出入相补术”去证明的道理？第二个问题是，华罗庚到底会不会，运用“出入相补术”去证明沈括的积罂公式？
我的看法是，对于第一个问题，华罗庚根本没有意识到这个问题的严重性，显得有些轻描淡写。对于第二个问题，华罗庚当然不会，因为至今尚未有人能给出，运用“出入相补术”去证明沈括的积罂公式的方法。然而，更为严重的问题是，华罗庚怎么可以这样的不懂装懂，怎么可以这样不负责任的乱搞一通。当然，华罗庚的缺乏自知之明，决非仅此一例，类似的事例还有不少。由于华罗庚是中国数学的领军人物，因此中国数学的复兴，必须从清除华罗庚的错误影响开始。
2，沈括的“隙积术”。
著名的英国科学史学家李约瑟称赞沈括（1031—1095），是中国整部科学史中最卓越的人物，赞许他的著作《梦溪笔谈》是中国科学史的里程碑。沈括是一位以博学著称的科学家，对于文学、艺术、自然科学、技术、历史、考古等各门学问都有深入研究。沈括一生在各地为官，由于他积极参加了王安石的变法，所以他也是一位政治家。
1088年，沈括奉旨可以在全国各地任便居住，他在江苏的镇江建造了一个“梦溪园”安享晚年。沈括一生的论著甚多，仅据《宋史》“艺文志”所录就22种，共155卷，但现在仅有《梦溪笔谈》26卷、《补笔谈》3卷、《续笔谈》和《长兴集》19卷等。《梦溪笔谈》是沈括将他一生的所见所闻，，以及他的研究心得，以笔记文学体裁形式写成。
《梦溪笔谈》的内容，涉及到数学、天文历法、地理、地质、气象、物理、化学、冶金、兵器、水利、建筑、动植物以及医药学等广阔的领域。其中有不少是对当时科学技术的忠实记录，包括沈括本人深入钻研的科学成果，是中国科技史上一部十分重要的著作。特别是在数学方面，沈括的“隙积术”至今仍然值得我们去深入发掘。沈括的“隙积术”记载于《梦溪笔谈》卷十八的“技艺”篇：
“算术求积尺之法，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类，物形备矣，独未有隙积一术，古法：凡算方积之物，有立方，谓六幂皆方者。其法再自乘则得之。有堑堵，谓如土墙者，两边杀，两头齐。其法并上下广，折半以为之广以直高乘之，以直高以股，以上广减下广，余者半之为勾。勾股求弦，以为斜高。
有刍童，谓如覆斗者，四面皆杀。其法倍上长加入下长，以上广乘之；倍下长加入上长，以下广乘之；并二位，以高乘之，六而一。隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及洒家积罂之类。虽似覆斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。余思而得之，用刍童法为上位；下位别列：下广以上广减之，余者以高乘之，六而一，并入上位。
假令积罂：最上行纵横各二罂，最下行各十二罂，行行相次。先以上二行相次，率至十二，当十一行也。以刍童法求之，倍上行长得四，并入下长得十六，以上广乘之，得之三十二；又倍下行长得二十四，并入上长，得二十六，以下广乘之，得三百一十二；并二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列下广十二，以上广减之，余十，以高乘之，得一百一十，并入上位，得三千八百九十四；六而一，得六百四十九，此为罂数也。刍童求见实方之积，隙积求见合角不尽，益出羡积也。”
沈括的这个所谓的“隙积术”，是指有空隙的堆积体，例如酒店中堆积的酒坛（积罂）、叠起来的棋子等，这类堆积体就像一个倒扣的斗，与平截头的长方锥（刍童）很像。但是隙积的边缘不是平的，而中间又有空隙，所以不能完全照搬刍童的体积公式。如果最上层的长和宽分别为a个和b个，最下层的长和宽分别为c个和d个，总层数为n，其中n=c-a=d-b，那么沈括所给出的酒坛总数的计算公式为：
V=n[（2a+c）b+（2c+a）d]/6+n（d-b）/6，
其中n[（2a+c）b+（2c+a）d]/6是刍童的体积，而n（d-b）/6则是加上去的修正项。在这里，沈括以体积公式为基础，把求解不连续的个体的累积数，转化为连续整体数值来求解，充分说明了沈括已经具有了，运用连续数学模型解决离散问题的数学思想。由此开辟了对于高阶等差级数求和，以及组合问题等全新的研究领域。
3，“出入相补术”的绝妙运用。
对于一个刍童来说，如果根据其顶面对它作一个井字形分割，使其中间为一个S1=abn的长方体；前后两片羡除上下倒合成一个S2=an（d-b）/2的长方体；左右两片羡除上下倒合成一个S3=bn（c-a）/2的长方体；四个角上的四个阳马，则合成一个体积为S4=n3/3的四棱锥。于是得到刍童的体积为S（刍童）=S1+S2+S3+S4= n[（2a+c）b+（2c+a）d]/6。
为什么一个四棱锥的体积，等于底面乘高的三分之一？我手头的一本《九章算术》，是曾海龙译解的，没有给出刍童、方锥等体积的具体推导过程。网上有人根据等底等高的物体，其体积必定相等的原理给出了证明，显然，这不是《九章算术》原著所给出的证明。我认为《九章算术》原著所给出的证明，应该是通过“出入相补术”所给出。
“出入相补术”的具体的做法应该是，首先取三个完全相同的四棱锥，把其中的两个从顶点开始，将它们剖分成四个，底面为相同的长方形的半四棱锥。然后把其中的两个反过来，倒贴到那个未剖开的四棱锥上去，使得这个粘合体的上下两面，成为两个完整的正方形，而其它前后左右的四个面，全都存在着凹陷的空洞。最后再把另外两个半四棱锥，从它们的剖面着手，将它们各分割成四个相同的三角形，但是它们的厚度是不等不匀的，此八个小块，正好填满所有的空洞。
如果将有空隙的酒坛堆，替换成没有空隙的正立方体堆，那么只有上下两个面是平整的，其它的四个面全都凹凸不平。若是仍然象对待刍童那样，根据其顶面对它作一个井字形分割，使其中间为一个S1=abn的长方体；前后两片上下倒合成一个S2=an（d-b）/2的长方体；左右两片上下倒合成一个S3=bn（c-a）/2的长方体；四个角上的四个转角台阶形，正好拼出一个底面为（n-1）2的四隅垛。
显然沈括已经知道，这个底面为（n-1）2的四隅垛，它的体积是小于上面的那个四棱锥S4=n3/3的体积的，所以他说：“用刍童法求之，常失于数少。余思而得之，用刍童法为上位；下位别列”。于是沈括最后通过一个实例，给出了他的修正项n（d-b）/6。那么，沈括又是怎么知道，这个底面为（n-1）2的四隅垛的体积，必定是会小于上面的那个四棱锥S4=n3/3的体积的呢？
根据上面的种种情况，笔者认为那时的沈括，应该已经通过刘徽的“出入相补术”，得到了四隅垛——全体自然数的平方和公式。沈括的推导过程应该是：首先将一个高度为n的立方体四隅垛，按照上述方法作井字形分割。接着再将由四个角重组的，高度为n-1的立方体四隅垛，仍然按照上述方法作井字形分割。如此不断的重组分割下去，就可以将一个高度为n的四隅垛，拆分成为一个J1=1+2+3+…+n，和二个J2=1+3+6+…+n（n+1）/2。