四论华罗庚的《从杨辉三角谈起》 ——李冶的《测圆海镜》 倪则均，2015年2月15日。

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既然华罗庚的这本小册子要从杨辉谈起，那么，由于杨辉是那时南方数学的代表人物，因此就不能不讲到那时北方数学的代表人物——李冶。既然我们已经介绍了中国数学史上，唯一的一位误入仕途的数学家，那么，我们就不能不大书特书中国数学史上，唯一的一位抛弃仕途的数学家，因为他们俩人的思想境界是完全不同的。既然我们已经论述了秦九韶的“正负开方术”，那么，我们就不能不更为深入的去探讨李冶的半符号代数，更何况这是康熙“代数东来说”的依据。
1，一位抛弃仕途的数学家。
李冶（1192—1279）河北栾城人，1230年考中金朝进士，调任钧州知事。1232年金被元灭，按照常规李冶仍有资格可以在元朝继续当官。然而，李冶却从此彻底抛弃了仕途，隐居山西崞县潜心研究数学。1251年，移居河北封龙山聚徒授课，自称“龙山老人”，山上有封龙书院藏书颇丰，众多文人隐士出没其间，坐而论道不亦乐乎，这是一种神仙过的日子，当然再也不肯去做官了，怎能再为五斗米去折腰！
李冶认为数学虽然奥妙无穷，，却是可以认识的，他说：“谓数为难穷，斯可；谓数为不可穷，斯不可。何则？彼其冥冥之中，固有昭昭者存。夫昭昭者，其自然之数，其自然之理也。” 李冶非常重视数学在认识自然中的重要性，他指出：“数一出于自然，吾欲以力强穷之，使隶首复生，亦未如之何也已。苟能推自然之理，以明自然之数，则虽远而乾端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者矣。”在数学学习上，他提出了三个境界：“积之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深。”
李冶一生热爱科学，追求自由，绝不负辱求名，他不迷信名家，敢于突破传统观念的束缚。他是通儒出身，有一套政治主张，却不愿意做官。对于当时所盛行的新儒学——程朱理学，李冶毫不客气地评击了他们的错误，他明确指出，在朱熹的著述之中：“窒碍之处亦不可以毛举也”。我国的宋代，是儒家的“数术”开始恶性膨胀的初期，他们将科学研究看作是“玩物丧志”，把数学说成是“九九贱技”。
在中国数学史上，似乎只有李冶敢于站出来，与儒家的“数术”展开激烈地正面交锋，也只有李冶才会具有能够据理反击儒家“数术”的资本。李冶一生执著地追求真理，不为闲言碎语所动摇，他在《测圆海镜序》中说：“览吾之编，察吾苦心，其悯或者当百数，其笑我者当千数。乃若吾之所得则自得焉耳，宁复为人悯笑计栅哉？”李冶以自己的毕生心血，在中国数学史上，写下了感人肺腑的一页，摧人泪下的一页。
2，李冶的半符号代数。
李冶的《测圆海镜》是1248年写成的，比秦九韶的《数书九章》只是晚了一年。李冶的《测圆海镜》是他从1232年隐居山西崞县后，花了十六年时间潜心研究数学才写成，而秦九韶的《数书九章》，只是利用了三年的守孝空闲所写成。秦九韶的“正负开方术”，只是《数书九章》“田域”类里的部分内容，一共只列出了26个方程，而李冶的《测圆海镜》则是一部研究代数问题的专著。
李冶的《测圆海镜》，可以说也是一部关于“天元术”专著。该书把勾股容圆问题作为一个系统来研究，讨论了在各种条件下，运用天元术求圆的直径的问题。卷一的圆城图式是全书的出发点，书中的题都和这一图式有关。由于摆脱了几何思维的束缚，李冶在方程理论上取得了许多进展。第一他改变了传统的把常数项看作正数的观念，也打破了秦九韶的“实常为负”的规定。第二李冶已能利用“天元术”，熟练地列出各类高次方程，赋予了未知数纯代数的意义。第三李冶解决了化分式方程为整式方程的问题。第四李冶掌握了可以降低方程次数的“换元法”思想。
据说是北宋的蒋周，在其《益古集》中最早创立了“天元”概念。后有李文一的《照胆》，石信道的《钤经》，刘汝谐的《如积释锁》，李思聪的《洞渊九容》等著作均对“天元术”进行了一定阐述。如果说秦九韶的“天元术”，主要来自于民间高人的传输，那么，李冶的“天元术”，则要完全依靠他自已象蜜蜂一样，不辞劳苦飞到民间去采集花粉酿成蜂蜜。
李冶在他的《敬斋古今黈》卷三中就有记载说：“予至东平得一算经，大概多明如积之术。以十九字识其上下层数曰：“仙（x9）、明（x8）、霞（x7）、汉（x6）、垒（x5）、层（x4）、高（x3）、上（x2）、天（x1）、人、地（x-1）、下（x-2）、低（x-3）、减（x-4）、落（x-5）、逝（x-6）、泉（x-7）、暗（x-8）、鬼（x-9）。”
由于《测圆海镜》里的内容很深，一般粗知数学的人不易看懂，因此，李冶于1251年，也就是《测圆海镜》发行后的第三年，李冶又出版了一本《益古演段》。《益古演段》是一部普及“天元术”的通俗读物，也是李冶研究蒋周《益古集》的心得笔记。对于一些代数方程，《益古演段》往往采用新旧二术并用的方法予以解释，新术是他的代数方法——天元术；旧术是蒋周的几何方法——条段法。
李冶一生著作虽多，但他最得意的还是《测圆海镜》。他在弥留之际还对其子叮嘱说：“吾平生著述，死后可尽燔去。独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾常精思致力焉，后世必有知者。庶可布广垂永乎？”
3，康熙的代数东来法之说。
1711年，康熙皇帝与直隶巡抚赵宏燮讨论数学时指出：“算法之理，皆出于《易经》，即西洋算法亦善，原系中国算法，彼称为‘阿尔朱巴拉’者，传自东方之谓也。”隔年梅瑴成入宫肄业于畅春园的蒙养斋，负责主编《数理精蕴》等书，康熙皇帝授以传教士传入的代数学，并且渝示：“西洋人名此书为阿尔热巴达，译言东来法也。”这就是，康熙的代数东来法之来由。
台湾师范大学的洪万生教授，专门写了一篇“康熙皇帝与符号代数”的文章，对于上述史实故意作了歪曲。洪万生说：“按此书可能是某传教士所译的《借根方算法节要》。在于在该书中不沿袭原名而改称为‘借根方法’，‘乃译者就其法而质言之也。’换句话说，‘借根方（比例）法’是一种‘意译’！后来奉康熙皇帝指示，梅瑴成遂将它编入《数理精蕴》（1723）卷32——36。
然则何以algebra是一种‘东来法’呢？这就必须追溯这个英文字的语源了。原来algebra相当于拉丁文的al—gebr，出自阿拉伯数学家阿尔•花拉子米的一本代数著作的书名Hisab al—jabr w’al muqabala，原指‘还原’之意，例如将2x+5=8-3x‘还原’成5x+5=8。这种代数不但未涉及符号法则，当然也不曾引进文字系数；同时，方程式两端也像天平平衡一样而不等于零，譬如二次方程就表示成像x2+6x=4等；此外，求解程序也都以文字叙述。后来被意大利数学家卡尔达诺全盘接收，因此，对西欧人而言才有‘东来法’之说。……。”
洪万生显然认为是康熙理解错了，其实真正理解错了的，应该恰恰正是洪万生教授自己。我国古代将解一元多次代数方程称为开方术，开方术确实来自于《易经》的“卦符三角”，宋代秦九韶的数值解法，至今仍然是最高明的解法。玄奘天竺取经后，唐朝的先进数学开始传入阿拉伯，阿尔•花拉子米的《代数学》（公元820年），应该是对于唐朝的先进数学的传承与发展。
洪万生还认为对于符号代数，康熙表现得有些束手无策。其实，韦达的符号代数，是对于李冶的半符号代数的发展。对于李冶的《测圆海镜》，康熙是作过深入研究的，并且特别指令梅瑴成在《数理精蕴》里，将“天元术”与“借根方法”作比较，证明它们“名异而实同”。或许是由于傅圣泽的翻译问题，让康熙发现韦达的符号代数里的错处甚多，鹜突处也不少。这些恰恰说明了康熙数学修养之高超，怎么可以反而说成是束手无策了呢？！当然，喜欢拿康熙做文章的人，洪万生也决不是绝无仅有的一个，所以我们对于康熙必须作出客观公正的评价。
其实，康熙对于我国的古代数学，既是有功更是有过，我们应该实事求是的予以评价才是。首先是莱布尼茨的来华请求被拒，康熙的如此做法实在毫无道理。莱布尼茨完全是受到了我国《周易》八卦启发，促使他完善了二进位制的记数方法，为我们今天的电子计算机时代的到来创造了条件。莱布尼茨特意制造了一台手工计算机，奉献给康熙，请求能让他来华再作更进一步的发掘，然而却被康熙断然拒绝了。应该说在十分众多的西方数学家之中，象莱布尼茨那样极为重视中国数学的人是少之又少的。
其次是对于可以称之为大帝的康熙来说，他没有拿出断然的措施来阻止中国数学的衰败。康熙只是在畅春园的蒙养斋，特别设立了一个皇家算学馆，然而，他还是不允许民间的数学高人，也可以私人设立算学馆，康熙应该有权可以修改大清律，解除不许私人设立算学馆的限制，然而他却没有下令废除。因此，我认为康熙对于中国数学，原本应该是可以有所作为的，然而他却是无所作为。