二论华罗庚的《从杨辉三角谈起》 ——易卦三角的功能 倪则均，2015年2月2日。

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1，原始的地理坐标。
中国的幅员十分辽阔，她的面积相当于十个埃及，与整个欧洲的面积相当。中国的长江是全世界的第三条大河，中国的黄河是全世界的第五条大河。长江流域和黄河流域的地理环境与尼罗河完全不同，长江流域与黄河流域之间的地理环境，也有着较大的差异。黄河流域的上游一带，是广阔的黄土高原，土质疏松，便于耕作，所以那里的黄帝部落，大约在六七千年前，就已经率先进入了农牧社会，创造了它们所特有的结绳文化。
“河图”和“洛书”，应该是黄帝部落传承至今的数学。其实，经过秦始皇的焚书坑儒之后，作为儒家经典的“河图”的早已散失，但是作为单纯数学的“洛书”，却没有跟着一起遭殃受损。我们今天使看到的“河图”，据说是宋代的陈抟，根据《周易大传》的记载，并参照了现存的“洛书”和其它一些相关资料，所揣摩出来的复原品。陈抟根据五行学说的需要，将十个绳结紧环五个绳结，一起画在中间的核心位置，表示位居中央的“土”。其实，“河图”应该是黄帝部落所统一颁布的加法运算的规则，其核心的那十个绳结应该放置在最外围，相当于我们今天的括号。“洛书”是一个三阶纵横图，反映了平方环里的排列规律。

我国的长江下游一带，是坚硬的粘土，尽管不能运用石器或骨器予以耕作，但是气候温润森林密布，生活在这里的蚩尤部落则以狩猎为生，需要较高的智慧与胆识，他们在刻痕记数的基础上，发展出了他们的刻痕文化及其算筹记数的方法。他们的算筹记数方法，又有下面两种表达方式，从而首先创立了数的十进位的记数规则。
大约在四千多年前，在我们的中华大地上，连续发生了两场旷日持久的十分惨烈的混战，参战的三方全都付出了极其沉痛的代价。第一场大战是涿鹿之战，第二场大战是阪泉之战，这二场大战之间，似乎只有极为短暂的停息，并且全都发生在我们今天的河南省境内，。黄帝部落是此二场大战的胜利者，蚩尤部落则是此二场大战的战败者，从此黄帝部落的绳结文化，长期被统治阶层所推崇，当作了他们的治国重器，蚩尤部落的刻痕文化，则散落于民间，服务于大众的日常生活，真可谓是各行其道相安无事，这种情况直到姜尚助周灭商之后，才是有所改变。
“筹算”的运算方法比较复杂，而且民间熟知“筹算”的运算方法的能人，是不肯轻易传授给外人的。然而，孙武自齐来吴后，不仅很快就掌握“筹算”的运算方法，并且将这种运算方法，在他的《孙子算经》里予以了公开，由此促进了我国古代数学的飞快发展，形成了中国数学的第一个巅峰时期。这个巅峰时期正是春秋战国时的“百家争鸣”。儒道两家在数学上，同样也展开了十分激烈的争论。

活跃在黄帝部落和蚩尤部落之间的炎帝部落，则将黄帝部落的结绳文化，与蚩尤部落的刻痕文化融合了在一起，由此创立了博大精深，光辉灿烂的中华文明。我们今天所看到的《周易》八卦，最初是萌芽于炎帝部落的《连山易》，它应该是炎帝部落的一幅地理环境的方位图。到了商代称为《归藏易》，到了周代称为《周易》。
其实，《周易》应该分为“经”和“传”两个部分，“经”就是炎帝部落所首创的地理环境图，而“传”则是儒家将“经”改变为占卜工具后的占辞汇编，成了一本专供卜筮用的谶书，称之为“数术”。然而，道家则从“经”里发现了“算术”，道家的“算术”与儒家的“数术”，争斗了几千年，最终还是由于“数术”的恶性膨胀，致使道家的“算术”走向难以挽救的衰败。

2，古老的经典作用。
《周易》八卦的卦符变化规律是：全部为阳爻的卦符，和全部为阴爻的卦符全都只有一个。只有一个阳爻的卦符，和只有一个阴爻的卦符都是三个。因此，《周易》八卦的卦符变化规律，就是一个二项式的展开系数，即有（1+1）3=1+3+3+1，我国古代就是根据这个规律，得到了代数方程的数值解法的。
我国成书于秦朝之前的《九章算术》，其第四章“少广”，主要讨论了由图形面积或体积求其长度的问题，它标志着我国古代求一元高次方程数值解的开始，它也是现代笔算开平方或开立方的根源。因此，我国古代的解方程称为“开方术”，下面不妨就以“少广”章的第十二题：“今有积五万万千二百二十五（平方）步。问为方几何？”为例，给出我国古代“开方术”的具体步骤。
运用现代符号来表示，本题所给出的开方术，相当于解方程x2=55225。首先作倍根变换，令x=102x1，将原方程变为：x2=（102x1）2=55225。估计得x1的整数部分为2，次作减根变换，令x1=2+10-1x2，将方程变为：（10x2）2+400（10x2）=15225。略去平方项，估计得x2的整数部分为3，再次作减根变换，令x2=3+10-1x3，则方程变为：x32+460x3=2325，再略去平方项，估计得x3的整数部分为5，令x3=5+10-1x4，代入方程可得：x4=0，由此得出，x=235。
此例所给出的55225是一个平方数，所以可以开尽，如果所给出的数不是一个平方数，得到的是一个无法开尽的无理数，那么“开方术”则说：“若开之不尽者，为不可开，当以面命之。”在我国古代数学中，“面”是指平面图形的边，在“开方术”中应该是指正方形的一边。“以面命之”的意思是将这个开不尽方的数，借助“面”来表示，。这里的“面”相当于现代用根号表示无理数中的被开方数。
因此，无理数的概念，对于中国数学来说，可谓是顺理成章的事情，表现得那么波澜不惊，处理得那样有条不紊。然而，在西方数学里，由于无理数的出现，曾引发了他们的“第一次数学危机”。希帕斯是毕达哥拉斯学派里的一个善于独立思考的青年，他发现若正方形边长为1时，它的对角线是不可度量的。由于他的这个发现，动摇了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的哲学基础，因此被丢入大海，葬身鱼腹。
3，现代的重要意义。
莱布尼茨是“中国式微积分”的创建者，也是欧洲大陆数学的领军人物，他们与以牛顿为首的，英伦三岛的“西方式微积分”，展开了长达一个多世纪的论战。法国传教士白晋，是所谓的“国王数学家”，他是康熙的数学顾问，负责给康熙讲解《几何原本》。史载是白晋将我国的《周易》寄给了莱布尼茨，促使他完善了二进位制的记数方法，为我们今天的电子计算机时代的到来创造了条件。
莱布尼茨特意制造了一台手工计算机，奉献给康熙，请求能让他来华再作更进一步的发掘，然而却被康熙断然拒绝了。这种做法与沙俄彼得大帝，特意建筑圣彼得堡，请去欧拉的做法完全相反，康熙的如此作为，实在让人无法理解。或许康熙认为，我国古代的数学宝库，应该留给炎黄子孙自已去挖掘，不能让洋人也来插一手。其实，莱布尼茨的发现，仅仅是冰山一角而已。《周易》里的真正高深的数学，莱布尼茨还远远尚未触及。
笔者已经发现，在一个规则合数环里，如果它有n个素因子，那么它就会共有2n个因子数。其中只有nC0个0阶因子数1；nC1个1阶因子数：2，3，5，…，pn；……，nCn个n阶因子数：p1p2…pn。显而易见，这个规律同样也能构成一个易卦三角，由此更进一步完善了我的合数环理论，说明我的合数环理论决不是无本之木，无源之水。
其实，杨辉对于这个易卦三角，早有十分深刻的认识。那时的杨辉已经发现，这个易卦三角的斜向第一列的数全部都是1；其斜向第二列的数，则是公差为1的等差级数；其斜向第三列的数，则是以斜向第二列的数为差二阶等差级数。杨辉正是由于这个发现，才是得以开创出了他的“垛积术”，给出了全体自然数的平方和，为n（n+1）（2n+1）/6的计算公式，验证了沈括所给出的酒坛堆的计算公式。
杨辉所开创的“垛积术”，经朱世杰的推广到李善兰的引申，历经六百多年的不断发展，形成了一道十分独特，极其壮丽的风景线。我的“高次纵横图与自然数等幂和”，不仅是对于杨辉纵横图的发展，更是将杨辉所开创的“垛积术”，推至又一个新高度。我总觉得杨辉所开创的“垛积术”，今后还有更为广阔的前景。其实，华罗庚的《从杨辉三角谈起》，重点是介绍各类级数的问题。然而，不管是混合级数还是循环级数，都是对于等差级数的发展，由于华罗庚对于等差级数的论述，似乎是出了一点问题，从而使得他所介绍的各类级数，成了无本之木，无源之水。